Конструктивно эффективные алгоритмы без эффективной корректности и доказательства эффективности

Я ищу естественные примеры эффективных алгоритмов (т.е. в полиномиальном времени)

их правильность и эффективность могут быть доказаны конструктивно (например, в $PRA$ или ), но $HA$
не известно никаких доказательств, использующих только эффективные концепции (то есть мы не знаем, как доказать их правильность и эффективность в или ). $TV^0$ $S^1_2$

Я могу сделать искусственные примеры самостоятельно. Однако я хочу интересные естественные примеры, то есть алгоритмы, которые изучаются сами по себе, а не созданы только для того, чтобы ответить на этот тип вопросов.

— Кава
источник

Возможно, что-то из теории автоматов, где алгоритм прост, но чтобы показать, что он работает, нужно рассмотреть все подмножества того или иного?

— Андрей Бауэр

Как насчет проверки простоты за полиномиальное время? Это доказательство, вероятно, будет достаточно сложным, чтобы его было трудно вставить в

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Андрей Бауэр

@Neel, на самом деле тезис Эмиля « Принцип слабой ямы и рандомизированные вычисления » о формализации вероятностных алгоритмов. Основной аксиомой, необходимой для формализации некоторых из них, является приблизительный подсчет, который не является частью

или

. Я думаю, что было бы проще придерживаться детерминированного случая сложного времени с

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Каве

ps: было бы более интересно, если бы мы могли доказать, что правильность / эффективность алгоритмов не доказуема в этих теориях или, по крайней мере, эквивалентна утверждениям, которые, как полагают, недоказуемы в них. Однако просить об этом, вероятно, слишком много с тем, что мы знаем в настоящее время.

— Каве

@Neel, большая часть релевантной вероятности может быть получена в системах первого порядка, так как вам действительно не нужно знать точную вероятность события, вам обычно нужно только сравнить эту вероятность с определенными рациональными числами.

— Франсуа Г. Дорайс

Ответы:

Это та же идея, что и в ответе Андрея, но с более подробной информацией.

Крайчек и Пудлак [ LNCS 960, 1995, с. 210-220 ] показали, что если является -свойством, определяющим простые числа в стандартной модели, и $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg п (Икс) \to (\exists Y_{1}, Y_{2}) (1 < Y_{1}, Y_{2} < Икс \land Икс знак равно Y_{1} Y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ тогда есть полиномиальный алгоритм факторинга времени. Это дает множество примеров, поскольку любой алгоритм NP для тестирования простоты в основном дает такую формулу

. В частности, критерий простоты AKS дает такую формулу (при соответствующей переработке на языке

). В статье Крайчека и Пудлака приводятся дополнительные примеры такого рода, связанные с криптографией, но он предшествует AKS и связанным с ним достижениям на несколько лет.

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Франсуа Г. Дорайс
источник

$\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

Другой класс примеров дают алгоритмы проверки на неприводимость и факторизации для полиномов (прежде всего над конечными полями и над рациональными числами). Они неизменно опираются на небольшую теорему Ферма или ее обобщения (среди прочих) и, как таковые, как известно, не формализуемы в соответствующей теории ограниченной арифметики. Как правило, эти алгоритмы являются рандомизированными, но для детерминированных примеров за полиномиальное время можно взять критерий неприводимости Рабина или алгоритм квадратного корня Тонелли – Шанкса (сформулированный так, чтобы в качестве входных данных был необходим квадратичный нерезидент).

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику
источник

Тест на примитивность AKS кажется хорошим кандидатом, если верить Википедии.

Однако я ожидаю, что такой пример будет трудно найти. Существующие доказательства будут сформулированы так, что они, очевидно, не будут выполнены в ограниченной арифметике, но они, вероятно, будут «адаптированы» к ограниченной арифметике с большим или меньшим усилием (обычно большим).

— Андрей Бауэр
источник

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

Крайчек и Пудлак опубликовали замечательную статью, в которой приводится еще несколько примеров: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— Франсуа Г. Дорайс,

@ Франсуа, почему бы не опубликовать ответ? :)

— Kaveh

Итак, я получаю наибольшее количество голосов за раннее счастливое предположение, в то время как другие на самом деле знают, что происходит. Математика так же, как MTV.

— Андрей Бауэр