Что такое логарифм или корневая операция в пространстве типов?

Недавно я читал «Две дуальности вычислений: отрицательные и дробные типы» . В статье рассматриваются типы сумм и типы товаров, в которых даны семантика для типов a - bи a/b.

В отличие от сложения и умножения, существует не одна, а две инверсии возведения в степень, логарифмы и корни. Если типы функций (a → b) являются теоретико-типовым возведением в степень, учитывая тип a → b(или b^a), что означает иметь тип logb(c)или тип a√c?

Имеет ли смысл вообще распространять логарифмы и корни на типы?

Если так, была ли какая-либо работа в этой области, и каковы некоторые хорошие указания о том, как понять последствия?

Я попытался найти информацию об этом с помощью логики, надеясь, что переписка Карри-Ховарда может мне помочь, но безрезультатно.

— efrey
источник

Ответы:

Тип имеет логарифм по основанию из точно , когда . То есть, можно рассматривать как контейнер элементов в позициях , заданных . На самом деле, это вопрос с просьбой к тому , что мощность мы должны поднять , чтобы получить . $C$ $X$ $P$ $C \cong P\to X$ $C$ $X$ $P$ $P$ $X$ $C$

Имеет смысл работать с где - функтор, всякий раз, когда существует логарифм, что означает . Обратите внимание, что если , то у нас, конечно, есть , поэтому контейнер не говорит нам ничего интересного, кроме его элементов: контейнеры с выбором форм делают не имеют логарифмов. $\mathop{log}F$ $F$ $\mathop{log}\!_X(F\:X)$ $F\:X\cong \mathop{log}F\to X$ $F\:1\cong 1$

Знакомые законы логарифмов имеют смысл, когда вы думаете с точки зрения наборов позиций

\begin{array}{rcll} L о г (К 1) & знак равно & 0 & нет позиций в пустом контейнере \\ L о г я & знак равно & 1 & контейнер на одну, одну позицию \\ L о г (F \times г) & знак равно & L о г F + L о г г & пара контейнеров, выбор позиций \\ L о г (F \cdot г) & знак равно & L о г F \times L о г г & контейнер контейнеров, пара позиций \end{array}

$\begin{array}{rcl@{\qquad}l} \mathop{log} (\mathop{K}1) &=& 0 & \mbox{no positions in empty container}\\ \mathop{log} I &=& 1 & \mbox{container for one, one position}\\ \mathop{log} (F\times G) &=& \mathop{log}F+\mathop{log}G & \mbox{pair of containers, choice of positions} \\ \mathop{log} (F\cdot G) &=& \mathop{log}F\times\mathop{log}G & \mbox{container of containers, pair of positions} \end{array}$

Мы также где под связывателем. То есть путь к каждому элементу в некоторых кодатах определяется индуктивно путем итерации логарифма. Например, $\mathop{log}\!_X(\nu Y. T) = \mu Z. \mathop{log}\!_X T$ $Z=\mathop{log}\!_XY$

l o g S t r e a m = l o g_{X} (ν Y . X \times Y) = μ Z, 1 + Z знак равно N a T

$\mathop{log}\mathop{Stream} = \mathop{log}\!_X(\nu Y. X\times Y) = \mu Z. 1 + Z = \mathop{Nat}$

Учитывая, что производная сообщает нам тип в контекстах с одним отверстием, а логарифм сообщает нам позиции, мы должны ожидать соединение, и действительно

F 1 ≅ 1 \Rightarrow L о г F ≅ \partial F 1

$F\:1\cong 1 \;\Rightarrow\; \mathop{log}F\cong \partial F\:1$

Там, где нет выбора формы, позиция - это то же самое, что и контекст с одним отверстием, когда элементы стираются. В более общем смысле всегда представляет выбор формы вместе с позицией элемента в этой форме. $\partial F\:1$ $F$

Я боюсь, что могу сказать меньше о корнях, но можно начать с аналогичного определения и следовать своему носу. Для более широкого использования логарифмов типов, проверьте «Памятные функции, политипически!» Ральфа Хинце. Надо бежать...

— pigworker
источник

Ответ от самого Да Мана. Добро пожаловать, Конор!

— Андрей Бауэр

Хм, мне интересно посмотреть, что такое корневые типы, так как для них потребуются типы с мнимым числом жителей. Если я не ошибаюсь. Я приму ваш ответ, но если у вас есть время, чтобы уточнить корни, это будет высоко ценится.

— Эфри

Может ли это быть как-то связано с рядом Тейлора ln (1 + x)?

— yatima2975

Интересно, с логарифмами и экспонентами ... что нам нужно для создания объекта Нейпира ? (например, предположительно уникальный объект, eтакой, что ∂e = e)

— Рифмовая

Я не знаю ни одной работы, которая преследует эту линию, но несколько минут размышлений об этом привели меня к этой гипотезе: не будет ли «корень» экспоненциального типа просто кодоменом, а «логарифмом» экспоненты просто домен?

— Марк Хаманн
источник

Правильно, поэтому я думаю, что ваша интуиция хороша, но ваш вывод неверен. Операция root и логарифм - это то, что вы получаете, когда вы «инвертируете» кодомен или домен соответственно, а не сами (со) домены. Вопрос в том, что мы подразумеваем под инвертированием и какую операцию двоичного типа он производит?

— Эфри

x^{y}

$x^y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

Извините, я не совсем понял свою терминологию. Я не хочу спрашивать, «что является корнем, каков результат применения функции логарифма». Мне интересно, что такое операция рутирования. Что такое операция нахождения логарифма. Если →есть расходование, то, что является двумя типами под корневой операцией. Что такое два типа в логарифмической операции. То, что я подразумеваю под «инвертировать аргумент», - это то, что здесь не время объяснять. Я уточню свой вопрос, спасибо.

— Эфри

В статье, на которую я ссылаюсь, приводится семантика для типа a - bи типа a / b. Меня не интересует результат сокращения операций логарифм и корень, а понимание их семантики как операторов двоичного типа.

— Эфри