Как мы можем выразить «

1. Как мы можем выразить$P=PSPACE$"как формула первого порядка?
2. Какой уровень арифметической иерархии содержит эту формулу (и каков в настоящее время известный минимальный уровень иерархии, которая ее содержит)?

Для справки, смотрите этот пост в блоге Lipton .

Во-первых, я хочу обратиться к комментариям к вопросу, где было высказано предположение, что «ложь» выражает $P = PSPACE$потому что утверждение является ложным. Хотя это может быть хорошей шуткой, на самом деле очень вредно так думать. Когда мы спрашиваем, как выразить определенное предложение в определенной формальной системе, мы не говорим о истинных ценностях. Если бы мы были, то когда кто-то спросил: «Как записать тот факт, что простых чисел бесконечно много?» мы могли бы ответить «3 + 3 = 6», но это явно не подойдет. По той же причине «ложь» не является правильным ответом на «как записать»$P = PSPACE$? ". Я думаю, что Фреге и Рассел изо всех сил пытались преподать нам этот урок. Хорошо, теперь ответ.

Позвольте мне показать, как выразить $PSPACE \subseteq P$, другое направление аналогично, и тогда вы можете соединить их вместе, чтобы получить $PSPACE = P$, В любом случае, для ваших целей может быть достаточно выразить$PSPACE \subseteq P$в зависимости от того, что вы делаете.

Использование методов, аналогичных тем, которые используются при построении предиката Клини$T$можно построить формулу ограниченного квантора $accept_{space}(k, m, n)$ (который, таким образом, проживает в $\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$) говоря "когда мы запускаем машину, закодированную $k$ и ограничил свое использование пространства $|n|^m$, машина принимает ввод $n$." Вот $|n|$ длина $n$, Неформальный способ увидеть, что такие формулы существуют:$k$, $m$, а также $n$ мы можем вычислить примитивную рекурсивную границу для того, сколько времени и места нам понадобится (т.е. самое большее $|n|^m$ пространство и самое большее $2^{|n|^m}$время). Затем мы просто ищем все возможные трассы выполнения, которые находятся в пределах вычисляемых границ - такой поиск довольно неэффективен, но он примитивно рекурсивен и поэтому мы можем выразить его как ограниченную формулу.

Есть похожая формула $accept_{time}(k, m, n)$ в котором время выполнения связано $|n|^m$,

Теперь рассмотрим формулу:

$$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$$ Это говорит о том, что для каждой машины $k$ который использует самое большее пространство $|n|^m$ есть машина $k'$ который использует в большинстве случаев $|n|^{m'}$ такой, что две машины принимают одинаково $n$«S. Другими словами, формула говорит$PSPACE \subseteq P$, Эта формула$\Pi^0_3$,

Мы можем улучшить это, если мы хотим вместо этого выразить предложение "$TQBF$находится в polytime ", что должно быть достаточно для большинства приложений, так как TQBF является завершенным PSPACE и поэтому его присутствие в polytime эквивалентно$PSPACE \subseteq P$, Позволять$k_0$ быть (код) машиной, которая распознает TQBF в пространстве $|n|^{m_0}$, Затем "$TQBF \in P$«можно выразить как

$$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$$ Эта формула просто $\Sigma^0_2$, Если бы я был теоретиком сложности, я бы знал, можно ли сделать еще лучше (но я сомневаюсь в этом).

Андрей уже объяснил, что $P=\mathit{PSPACE}$ может быть написано как $\Sigma^0_2$-приговор. Позвольте мне упомянуть, что эта классификация является оптимальной в том смысле, что если утверждение эквивалентно$\Pi^0_2$- значит, этот факт не релятивизируется. Точнее, набор оракулов$A$ такой, что $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ определяется по $\Sigma^0_2$формула со свободной переменной второго порядка $A$, но это не определяется ни одним $\Pi^0_2$-формула. Аргумент изложен (для$P=\mathit{NP}$, но это работает точно так же для $\mathit{PSPACE}$) в комментариях на /mathpro/57348 . (На самом деле, разработкой идеи можно показать, что множество$\Sigma^0_2$-полный в соответствующем смысле.)

РЕДАКТИРОВАТЬ: Топологическое доказательство, приведенное в связанном комментарии, короткое, но может показаться сложным. Вот прямой аргумент.

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ может быть написано как $\Pi^0_2$формула формы $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$, где $\theta$ является $\Delta^0_0$, Предположим для противоречия, что$P^A=\mathit{PSPACE}^A$ также эквивалентно $\Pi^0_2$-формулу $\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$, Исправить оракулы$B$, $C$ такой, что $P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$ а также $P^C=\mathit{PSPACE}^C$,

поскольку $\phi(B)$, Существует $y_0$ такой, что $\theta(B,0,y_0)$, Однако,$\theta$ является ограниченной формулой, следовательно, оценка истинности значения $\theta(B,0,y_0)$использует только конечную часть оракула. Таким образом, существует конечная часть$b_0$ из $B$ такой, что $\theta(A,0,y_0)$ за каждого оракула $A$ простирающийся $b_0$,

Позволять $C[b_0]$ обозначить оракула, который распространяется $b_0$, and agrees with $C$ where $b_0$ is undefined. Since $P^A$ and $\mathit{PSPACE}^A$ are unaffected by a finite change in the oracle, we have $\psi(C[b_0])$. By the same argument as above, there exists $z_0$ and a finite part $c_0$ of $C[b_0]$ such that $\eta(A,0,z_0)$ for every $A$ extending $c_0$. We may assume that $c_0$ extends $b_0$.

Continuing in the same fashion, we construct infinite sequences of numbers $y_0,y_1,y_2,\dots$, $z_0,z_1,z_2,\dots$, and finite partial oracles $b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$ such that

1. $\theta(A,n,y_n)$ for every oracle $A$ extending $b_n$,

2. $\eta(A,n,z_n)$ for every oracle $A$ extending $c_n$.

Now, let $A$ be an oracle which extends all $b_n$ and $c_n$. Then 1 and 2 imply that $\phi(A)$ and $\psi(A)$ simultaneously hold, which contradicts the assumption that they are complements of each other.