Является ли пропозициональное разрешение полной системой доказательств?

Этот вопрос касается логики высказываний, и все случаи «разрешения» следует понимать как «предложенные решения».

Этот вопрос является чем-то чрезвычайно основным, но это беспокоило меня некоторое время. Я вижу, как люди утверждают, что решение по предложению завершено, но я также вижу, что люди утверждают, что решение является неполным. Я понимаю смысл, в котором разрешение является неполным. Я также понимаю, почему люди могут утверждать, что оно завершено, но слово «завершено» отличается от того, как слово «завершено» используется при описании естественного вывода или последовательного исчисления. Даже квалификатор «опровержение завершено» не помогает, потому что формулы должны быть в CNF, и преобразование формулы в эквивалентную формулу CNF или эквивалентную формулу CNF посредством преобразования Цейтина не учитывается в системе доказательств.

Обоснованность и полнота

Давайте предположим установку классической логики высказываний с отношением между некоторой вселенной структур и набором формул и классическим понятием истины Тарского в структуре. Мы пишем если верно во всех рассматриваемых структурах. Я также предполагаю систему для получения формул из формул. $\models$ $\models \varphi$ $\varphi$ $\vdash$

Система является звук относительно , если всякий раз , когда мы имеем , мы также имеем . Система является полным относительно , если всякий раз , когда мы имеем , мы также имеем . $\vdash$ $\models$ $\vdash \varphi$ $\models \varphi$ $\vdash$ $\models$ $\models \varphi$ $\vdash \varphi$

Правило разрешения

Литерал - это атомарное суждение или его отрицание. Предложение - это дизъюнкция литералов. Формула в CNF является соединением предложений. Правило разрешения утверждает, что

Правило разрешения утверждает, что если соединение пункта с пунктом является выполнимым, то условие также должно быть выполнимым. $C \lor p$ $\neg p \lor D$ $C \lor D$

Я не уверен, что одно правило разрешения может быть понято как система доказательства, потому что нет никаких правил для введения формул. Я предполагаю, что нам, по крайней мере, нужно правило гипотезы, которое позволяет вводить предложения.

Неполнота разрешения

Известно, что разрешение - это звукоизоляционная система. Это означает, что если мы можем вывести предложение из формулы используя разрешение, то $C$ $F$ . Решение такжеопровержение полногозначения, если у нас есть $\models F \implies C$ тогда мы можем вывести из используя разрешение. $\models F \implies \bot$ $\bot$ $F$

Рассмотрим формулу

и . $\varphi := p \land q$ $\psi := p \lor q$

В системе Гентцена LK или с использованием естественного вычета, я могу получить значение полностью в системе доказательств. Я не могу получить это значение, используя разрешение, потому что, если я начну с , не будет никаких резольвентов. $\varphi \implies \psi$ $\varphi$

Я вижу, как я могу доказать обоснованность этого следствия, используя разрешение:

Рассмотрим формулу $\neg (\varphi \implies \psi)$
Превратите приведенную выше формулу в CNF, либо используя стандартные правила распределения, либо используя преобразование Цейтина.
Выведите из преобразованной формулы, используя разрешение. $\bot$

Этот подход для меня неудовлетворителен, поскольку требует от меня выполнения шагов (1) и (2), которые находятся за пределами системы подтверждения разрешения. Таким образом, кажется, что есть очень ясный смысл, в котором разрешение не является полным, как мы говорим, что естественный вывод или последовательные исчисления завершены.

Вопросов

Учитывая все это выше, мои вопросы:

Какая система доказательств рассматривается при обсуждении резолюции? Это просто правило разрешения? Каковы другие правила?
Мне кажется очень ясным, что разрешение не является полным в том смысле, что естественные дедукции и последовательные исчисления завершены. Является ли литература, утверждающая, что резолюция является полной терминологией злоупотребления, только потому, что смысл, в котором резолюция является полной, более интересен, чем смысл, в котором она является неполной?
Была ли эта разница в понятиях полноты применительно к разрешению и в других местах и как их согласовать более подробно обсуждалась в литературе?
Я также понимаю, что разрешение может быть сформулировано в последовательных исчислениях с точки зрения правила разреза. Является ли «правильное» доказательство теоретической точки зрения разрешения лишь тем, что оно является фрагментом последовательного исчисления, достаточного для проверки выполнимости формул в КНФ?

— Виджай Д
источник

(1) формулы CNF с простым разрешением (или, если вы делаете QBF, то формулы QCNF с разрешением и полным сокращением); (2) Да, это опровержение завершено, и все же немного другое значение, а именно, если

то

ψ ⊨ ⊥

$\psi\models\bot$

ψ ⊢ ⊥

$\psi\vdash\bot$

— Раду GRIGore

примерно такой же вопрос здесь. спасибо за размещение. в основном, iiuc / afaik, разрешение используется для систем намного больше, чем логика 1-го порядка, но в логике 1-го порядка это «звук / полный», хотя это не всегда очень хорошо описано, потому что оно часто просто используется для доказательства опровержения. в «больших» системах, где термины являются не просто булевыми переменными, а, например, экзистенциальными квалификаторами и т. д., оно не является полным. область логики не слишком хорошо стандартизирует определения терминологии, существует много «перегрузок» терминов и т. д.

— vzn

Вот почему некоторые люди говорят, что это « опровержение завершено», например, Л. Бахмайр и Х. Ганзингер, «Доказательство теоремы разрешения», «Руководство по автоматическому рассуждению», вып. 1, pp. 19–99, 2001.

— Trylks,

Вопрос обсуждает опровержение полноты.

— Виджей Д

Ответы:

Какая система доказательств рассматривается при обсуждении резолюции? Это просто правило разрешения? Каковы другие правила?

Я обсуждаю разрешение в контексте «оговорок», которые являются последовательностями, состоящими только из литералов . Классическое предложение будет выглядеть как Но мы также можем записать его как

A_{1}, \dots, A_{n} \to B_{1}, \dots, B_{m}

$A_1,\ldots,A_n \to B_1,\ldots,B_m$

и работать только с одной односторонней секвенции. Это обычное для лечения этой односторонний секвенциикачествемультимножествлитералов.

\to {\bar{A}}_{1}, \dots, {\bar{A}}_{n}, B_{1}, \dots, B_{m}

${} \to \bar{A}_1,\ldots,\bar{A}_n, B_1, \ldots, B_m$

LK, ограниченный пунктами, имеет только четыре правила вывода:

идентичность
вырезать (пропозициональное решение)
сжатие (пропозициональный факторинг)
ослабление

Очевидно, что эти четыре правила являются полными для вывода предложений, т. Е.

Предложение 1 Для любого предложения и множества предложений мы имеем тогда и только тогда, когда $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ . ${\cal S} \vdash C$

Доказательство опровержения преобразует задачу в , где ${\cal S} \vdash C$ ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$ $N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$ есть совокупность положений , представляющих отрицание . $C$

Ясно, что тогда и только тогда, когда ${\cal S} \vdash C$ . Наша система из четырех правил по-прежнему достаточна для доказательства преобразованной проблемы, но мы замечаем, что нам больше не нужны идентичность и ослабление. Оставшиеся два правила называются «процедурой подтверждения решения». ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Предложение 2 Для любого п и множество статей , мы имеем тогда и только тогда $C$ ${\cal S}$ ${\cal S} \models C$ , используя только вырезать и сжатие. ${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Точка преобразования проблемы в опровержение доказательств имеет две стороны:

У нас есть лучшая возможность направить поиск доказательства, позволяя управлять им. $N(C)$
Мы имеем дело с полной логикой предикатов, чьи формулы могут быть преобразованы в CNF вплоть до выполнимости.

Является ли «правильное» доказательство теоретической точки зрения разрешения лишь тем, что оно является фрагментом последовательного исчисления, достаточного для проверки выполнимости формул в КНФ?

В самом деле!

— Удай Редди
источник

Спасибо, Удай. Один вопрос: правило сокращения по-прежнему сохраняет пункты из первоначальной формулы в последующем. В резолюции они «оптимизированы» только с одним предложением в последующем. Согласитесь ли вы с тем, что это разрешение является минимальным или локальным правилом, поскольку в нем отсутствуют все пункты?

— Виджей Д

@VijayD. Мы используем именно правило обрезки, но не так, как Генцен. Gentzen доказательства будут иметь форму

⊢ C

${} \vdash C$

S ⊢ C

${\cal S} \vdash C$

Не могли бы вы также добавить в свой ответ то, что, по вашему мнению, представляет собой одно предложение, точное описание полноты решения?

— Виджай Д

@VijayD. В моем исходном ответе было два утверждения «если и только если», которые были двумя свойствами полноты. Для ясности я выделил их как предложения для вас. (Я еще не уверен, где твое замешательство. Возможно, это связано с тем, с каким языком мы работаем, как подразумевал Каве?)

— Uday Reddy

@VijayD. Я не думаю, что вы можете сказать, что решение является "неполным". Все, что вы сказали в своем первоначальном вопросе, заключалось в том, что преобразования, необходимые для приведения формул высказываний в клаузальную форму, являются «неудовлетворительными» для вас. Это не значит, что они «неполные».

— Uday Reddy

1)

Единственное неструктурное правило - разрешение (по атомам).

\frac{φ \lor C, ψ \lor \bar{С}}{φ \lor ψ}

$\varphi\lor C, \psi\lor \overline{C} \over \varphi\lor \psi$

Однако само по себе правило не дает системы доказательств. Смотрите часть 3.

2)

$\{\land, \lor, \lnot\}$ $\{\land, \lor, \lnot\}$

Пока есть «хороший» перевод с одного языка на другой, мы можем говорить о полноте. По сути, важно то, что мы можем эффективно переводить формулы из одной в другую и наоборот. Вы можете проверить тезис Роберта Рекхоу, в котором он рассматривает проблему связности и показывает, что для систем Фреге длина доказательств не меняется больше, чем полином, поэтому в некотором смысле можно выбрать любой набор адекватных связок, который вам нравится.

Ситуация для разрешения аналогична. Сокращая SAT до 3SAT, мы можем ограничить наше внимание CNF, и преобразование может быть сделано очень эффективно.

Обратите внимание, что решение здесь не одно, проблема относится и к другим системам доказательства. Возьмем, к примеру, Фреге с ограниченной глубиной, где глубина формул должна быть ограничена константой, поэтому по определению она не может доказать семейства формул неограниченной глубины.

3)

$P$ $\vdash_P$

$\vdash_P$ $\varphi$ $\pi$ $\pi$ $P$ $\varphi$
$P$ $\varphi$ $\varphi$
$\varphi$ $P$ $\varphi$

Определение очень общее и вообще не говорит о структуре доказательства. Все, что удовлетворяет этим условиям, является пропозициональной системой доказательств.

Какой класс формулы мы должны рассмотреть в этих пунктах? Были рассмотрены различные классы формул, и первым из известных мне вопросов стал тезис Роберта Рекхоу, в котором он показывает, что до тех пор, пока кто-то занимается системами Фреге, не имеет значения, какой адекватный набор соединительных элементов используется, все они эквивалентны.

Что касается разрешения, если кто-то действительно хочет иметь полноту в отношении всех формул, а не только CNF, можно без затруднений включить перевод фиксированной полиномиальной времени из произвольных формул в CNF в систему доказательств, поскольку перевод вычисляется за полиномиальное время.

$\pi$ $\bot$ $\lnot \varphi$

4)

Разрешение само по себе нормально, однако можно думать об этом так, как вы упомянули, то есть, конечно, мы можем думать о нем как о правиле разреза, когда формула разреза является положительным атомом, перемещая отрицательные атомы в предшествующее и сохраняя положительные в преемнике:

\frac{\Rightarrow φ, C C \Rightarrow ψ}{\Rightarrow φ, ψ}

$\Rightarrow \varphi, C \hspace{1cm} C \Rightarrow \psi \over \Rightarrow \varphi, \psi$

$G$ ), - это, главным образом, класс формул, которые можно вырезать. Я думаю, что мы можем взять PK Генцена и просто ограничить правило разреза для применения к таким формулам разреза, и полученная в результате система доказательства будет не более мощной, чем разрешение при доказательстве CNF. Любое доказательство CNF (записанное в последовательной форме с положительными атомами) может иметь только похожие секвенции, т.е. более сложные формулы бесполезны при доказательстве CNF (обратите внимание, что вырезка является единственным правилом, которое может удалять формулы из последовательностей).

PS: Мой ответ в основном с теоретической точки зрения сложности доказательств. Вы можете проверить другие перспективы, такие как теория структурного доказательства .

Ссылки:

Роберт А. Рекхоу, « О длинах доказательств в исчислении высказываний », 1976.

— Кава
источник

Спасибо за Ваш ответ. Я вижу, как Удай говорит подобные вещи, но я обнаружил, что могу легче следовать его ответу.

— Виджай Д

@VijayD, конечно, нет проблем. :)

— Kaveh