Пруф-сети интересны в основном по трем причинам:
1) ИДЕНТИЧНОСТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ. Они дают ответ на вопрос «когда два доказательства одинаковы»? В исчислении секвенций у вас может быть много разных доказательств одного и того же предложения, которые различаются только потому, что в исчислении секвенций выстраивается порядок среди правил вывода, даже если в этом нет необходимости. Конечно, можно добавить отношение эквивалентности в доказательствах последовательного исчисления, но затем нужно показать, что исключение срезов ведет себя правильно на классах эквивалентности, а также необходимо обратиться к переписыванию по модулю, что является гораздо более техническим, чем простое переписывание. Сети доказательства решают проблему работы с классами эквивалентности, предоставляя синтаксис, в котором каждый класс эквивалентности свернут на одном объекте. Эта ситуация в любом случае немного идеалистическая, поскольку по многим причинам сети доказательств часто расширяются с некоторой формой эквивалентности.
2) НИКАКИХ КОММУТАТИВНЫХ ШАГОВ ВЫРЕЗАНИЯ. Исключение вырезов в контрольных сетях приобретает совершенно иной вид, чем в последовательных исчислениях, потому что коммутативные этапы вырезов исчезают Причина в том, что в сетях доказательств правила дедукции связаны только их причинной связью. Коммутативные случаи порождаются тем фактом, что одно правило может быть скрыто другим причинно не связанным правилом. Этого не может быть в сетях доказательств, где причинно не связанные правила находятся далеко друг от друга. Поскольку большинство случаев исключения среза являются коммутативными, можно получить поразительное упрощение устранения среза. Это было особенно полезно для изучения лямбда-исчислений с явными заменами (потому что экспоненты = явные замены). Опять же, эта ситуация идеализирована, поскольку некоторые представления сетей доказательств требуют коммутативных шагов. Тем не мение,
3) КРИТЕРИИ ПРАВИЛЬНОСТИ. Сети доказательств могут быть определены путем перевода последовательных доказательств исчисления, но обычно система сетей доказательств не принимается как таковая, если она не снабжена критерием корректности, то есть набором теоретико-графических принципов, характеризующих набор графов, полученных путем перевода доказательство последовательного исчисления. Причина, по которой требуется критерий корректности, заключается в том, что свободный графический язык, сгенерированный набором конструкторов сети доказательств (называемых ссылками), содержит «слишком много графов» в том смысле, что некоторые графы не соответствуют никаким доказательствам. Актуальность подхода критериев правильности обычно полностью не понимается. Это важно, потому что он дает неиндуктивные определения того, что является доказательством, предоставляя поразительно разные взгляды на природу вычетов. Тот факт, что характеристика не является индуктивной, обычно подвергается критике, хотя это именно то, что интересно. Конечно, его нелегко поддается формализации, но, опять же, в этом его сила: сети доказательств дают понимание, которое недоступно из-за обычной индуктивной перспективы доказательств и терминов. Фундаментальной теоремой для сетей доказательства является теорема секвенизации, которая говорит, что любой граф, удовлетворяющий критерию корректности, может быть индуктивно разложен как доказательство последовательного исчисления (перевод обратно в правильный граф).
Позвольте мне сделать вывод, что неточно утверждать, что сети доказательств являются классической и линейной версией естественного вывода. Дело в том, что они решают (или пытаются решить) проблему идентичности доказательств и что естественный вывод успешно решает ту же проблему для минимальной интуиционистской логики. Но сети доказательств можно сделать и для интуиционистских систем, и для нелинейных систем. На самом деле, они работают лучше для интуиционистских систем, чем для классических систем.