Ehrenfeucht-Fraïssé игры (на самом деле Ajtai-Fagin) для обычных языков.

Immerman (Descriptive Complexity, 1999) представляет EF-игры для экзистенциального монадического второго порядка (Ajtai-Fagin games) на стр. 127. Так как MSO для слов эквивалентна обычным языкам, игру можно написать следующим образом. $\exists$

Язык является регулярным тогда и только тогда, когда у Далилы нет выигрышной стратегии в следующей игре: 1. Самсон выбирает , 2. Далила выбирает , 3. Самсон выбирает подмножествами. множества позиций в (то есть $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$ $C_1^w, \ldots, C_c^w$ $w$ $\{0, \ldots, |w|-1\}$ ),
4. Делила chosses и подмножествами множества позиций в , 5. Самсон и Далила играть -Поверните игры EF на и $v \not\in L$ $c$ $C_1^v, \ldots, C_c^v$ $v$
$m$ $(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ , где- структура, связанная со словом, т. е. с $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$ $w$

S (w) = ⟨ {0, \dots, | w | - 1}, S U C C, Q_{a}, Q_{b} ⟩

$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$

, а

- двоичный предикат-преемник.

Q_{l} = {p | w_{p} = l}

$Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$

S U C C

$SUCC$

У меня есть два вопроса:
- Как можно показать, что не является регулярным, используя такой аргумент EF: - Легче / сложнее играть в эти игры (чтобы показать нерегулярность), когда кто-то имеет порядок, а не отношение преемника? (Это эквивалентно в экзистенциальном MSO). $\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

lo.logic automata-theory descriptive-complexity

— Михаэль Кадилхак
источник

$c$ $m$ $w = a^n b^n$ $n$ $C^w_1,\ldots,C^w_c$ $w$ $2^c$ $w'$ $w'[i,\ldots,j]$ $w'$ $r$ $t$

$0 \leq i \leq j \leq n$ $w'$
$r$ $r$ $i$ $j$ $w'$
$k \in [i,\ldots,j]$ $r$ $k$ $w'$ $r$ $t$ $w'$

v^{'} = w^{'} [0, \dots, i - 1] w^{'} [i, \dots, j]^{2} w^{'} [j + 1, \dots, 2 n - 1] .

$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$

v

$v$

a, b

${a,b}$

v^{'}

$v'$

v

$v$

L

$L$

a

$a$

m

$m$

w^{'}

$w'$

v^{'}

$v'$

r

$r$

t

$t$

c

$c$

m

$m$

$n$ $c$ $m$ $r$ $t$ $w'[i,\ldots,j]$ $r$

Это работало для структур-преемников. С линейным порядком это будет немного сложнее, но я не особо задумывался об этом.

Обратите внимание, что неудивительно, что этот аргумент выглядит как аргумент «прокачки» в автоматах. Однако это не так глупо, как просто перевод формулы в автомат. Я думаю, что это считается теоретико-модельным аргументом.

— slimton
источник

Разве мой ответ вас не убеждает?

— Слитон

Ой, извините, конечно, это так. Хотя мне было бы действительно интересно посмотреть, что это будет с линейным порядком (и, следовательно, без местоположения Ханфа). Спасибо за этот ответ!

— Микаэль Кадилхак