Балансировка булевой формулы в

Я ищу ссылки на сложность проблемы балансировки булевых формул . В частности,

Было ли известно, что булевы формулы могут быть сбалансированы в ? $\mathsf{AC^0}$
Есть ли простое доказательство балансировки булевой формулы в ? $\mathsf{AC^0}$

Под «простым» я подразумеваю доказательство, более простое, чем упомянутое ниже, в частности, я ищу доказательство, которое не зависит от оценки булевой формулы в . $\mathsf{NC^1}$

Фон

Здесь все упомянутые классы сложности являются единообразными.

BFB (Логическая формула балансировка):
Учитывая булеву формулу , Найти эквивалентную сбалансированную булеву формулу. $\varphi$

Меня интересует сложность этой проблемы, в частности, простые доказательства, показывающие, что проблема находится в (или даже или ). Обычные аргументы балансировки, подобные тем, которые основаны на лемме Спиры, применяют повторяющиеся структурные модификации дерева формул, которые, похоже, дают только . $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

У меня есть доказательство для , однако доказательство не простое и зависит от доказательства . $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

BFE (оценка булевой формулы)
Учитывая булеву формулу и присваивание правды для переменных в , удовлетворяет ли ( )? $\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

Из знаменитого результата Сэма Бусса известно, что вычисление булевой формулы ( ) может быть вычислено в (см. [Buss87] и [BCGR92] ). $BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

Из этого (довольно удивительно, по крайней мере для меня) следует, что балансировка булевых формул ( ) также находится в : $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

Идея состоит в том, что мы можем жестко кодировать во входных воротах чтобы получить формулу, эквивалентную и это полностью синтаксическая операция, вычисляемая в . Поскольку имеет сбалансированные формулы, мы получаем эквивалентную сбалансированную формулу для . Другими словами, алгоритм: $\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

мотивация

Более простой аргумент в пользу того, что находится в (или или даже ), даст новое более простое доказательство поскольку легко увидеть, что сбалансированная версия BFE может быть решена в и мы можем составить ее с помощью и результат будет в . $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

Вопросов

Было ли известно, что булевы формулы могут быть сбалансированы в ( )? $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
Есть ли более простой аргумент (например, не полагаться на ) для ? $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— Кава
источник

Какое определение «баланса» вы используете?

— Дана Мошковиц

@ Дана, мы можем использовать что-то вроде (т.е. с конкретными константами). См. Также статью Боннета и Бусса « Соотношение размера и глубины для булевых формул », 2002 г.

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— Каве,

согласился, что определение "балансировки" должно быть ясно это похоже на концепцию балансировки в бинарных деревьях? например, "самоуравновешенные деревья"

— vzn

Я не уверен, что это очень актуально, но в алгоритмах лог-пространства для путей и сопоставлений в k-деревьях (основанных на долгой истории прошлой работы и, в частности, на арифметизирующих классах вокруг NC1 и L, выполненных Limaye-Mahajan-Rao), мы показываем Как найти рекурсивные сбалансированные разделители для дерева в Logspace. Эта граница вполне может быть улучшенной до если входное дерево напрямую задано в строковом представлении. $\mathsf{NC}^1$

Основная идея состоит в том, чтобы представить дерево в виде выражения в скобках и найти для них сбалансированные разделители. Обратите внимание, что мы находим разделители листьев, то есть поддеревья, которые сбалансированы по числу листьев.

— SamiD
источник