Считайте, что этот вопрос решен. Я не буду выбирать лучший ответ, поскольку все они внесли свой вклад в мое понимание темы.
Я не уверен, какую пользу мы получаем, формально определяя семантику логики предикатов. Но я вижу ценность в формальном доказательстве. Я хочу сказать, что нам не нужна формальная семантика для обоснования правил вывода исчислений доказательств.
Мы могли бы определить исчисление, которое имитирует «законы мышления», то есть правила вывода, которые математики использовали в течение сотен лет для доказательства своих теорем. Такое исчисление уже существует: естественный вывод. Тогда мы бы определили это исчисление как правильное и полное.
Это может быть оправдано осознанием того, что формальная семантика логики предикатов является лишь моделью. Уместность модели может быть обоснована только интуитивно. Таким образом, показ того, что естественный вывод является обоснованным и полным со ссылкой на формальную семантику, не делает естественный вывод более «истинным». Было бы так же хорошо, если бы мы прямо обосновали правила естественного вывода интуитивно. Объезд с использованием формальной семантики нам ничего не дает.
Затем, определив естественное вычитание как правильное и полное, мы могли бы показать правильность и полноту других исчислений, показав, что доказательства, которые они дают, могут быть переведены в естественное вычитание и наоборот.
Мои размышления выше верны? Почему важно доказать правильность и полноту исчислений доказательств, ссылаясь на формальную семантику?