0-1 Линейное программирование: вычисление оптимальной формулировки

Рассмотрим мерное пространство , и пусть - линейное ограничение вида , где , и . $n$ $\{0,1\}^n$ $c$ $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ $a_i \in \mathbb{R}$ $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

Очевидно, что $c$ имеет эффект разделения $\{0,1\}^n$ на два подмножества $S_c$ и $S_{\lnot c}$ . $S_c$ содержит все и только те точки, которые удовлетворяют $c$ , тогда как $S_{\lnot c}$ содержит все и только те точки, фальсифицирующие $c$ .

Предположим, что $|S_c| \geq n$ . Теперь позвольте $O$ быть подмножеством $S_c$ таким, чтобы все следующие три утверждения:

$O$ содержит ровно $n$ точек.
Такие $n$ точек линейно независимы.
Такими $n$ точками являются те, которые находятся на минимальном расстоянии от гиперплоскости, представленной $c$ . Точнее, пусть $d( x, c )$ - расстояние от точки $x \in \{0,1\}^n$ до гиперплоскости $c$ . Тогда $\forall B \subseteq S_c$ такой, что $B$ удовлетворяет 1 и 2, это тот случай, когда $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ , Другими словами, $O$ среди всех подмножеств $S_c$ удовлетворяющих условиям 1 и 2, минимизирует сумму расстояний его точек от гиперплоскости $c$ .

Вопросов

Учитывая , возможно ли эффективно вычислить ? $c$ $O$

Какой самый известный алгоритм для его вычисления?

$\$

Пример с $n = 3$

Пример с n = 3

$S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ , . $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$

$\$

Обновление 05/12/2012

мотивация

Мотивация , что использование должно быть возможным , чтобы определить оптимальное ограничение , как это должно быть гиперплоскость определяется точек . $O$ $c^*$ $n$ $O$

Оптимальное ограничение - это то, которое приводит к оптимальному многограннику . $c^*$ $P^*$

Оптимальным многогранником является тот, вершинами которого являются все и только целочисленные вершины исходного многогранника (целочисленная вершина - это вершина, координаты которой являются целыми). $P^*$ $P$

Оптимальная формулировка

Процесс может быть повторен для каждого ограничения экземпляра 0-1 , каждый раз заменяя его соответствующим оптимальным ограничением . В конце концов, это приведет к оптимальным многогранника из . Тогда, поскольку вершины - это все и только целочисленные вершины исходного многогранника из , любой алгоритм для можно использовать для вычисления оптимального целочисленного решения. Я знаю, что возможность эффективного вычисления подразумевает , однако следующий дополнительный вопрос все еще стоит: $c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ $I$ $LP$ $P^*$ $P = NP$

Дополнительный вопрос

Есть ли предыдущие работы в этом направлении? Кто-нибудь уже исследовал задачу вычисления, учитывая многогранник , его соответствующий оптимальный многогранник ? Какой самый известный алгоритм для этого? $P$ $P^*$

— Джорджио Камерани
источник

Похоже, что это трудно сделать с помощью NP, уменьшив сумму подмножества. Учитывая двоичные целые числа , чтобы проверить, есть ли подмножество, суммирующее , мы можем проверить, есть ли точка на гиперплоскости . Вас интересуют приближения?

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— Колин МакКиллан

@ColinMcQuillan: вопрос предназначался для точного решения, однако меня, конечно, интересуют и приближения. Почему бы вам не превратить свой комментарий в ответ?

— Джорджио Камерани

@ColinMcQuillan: Кроме того, ваша гиперплоскость определяется с использованием равенства, а моя - с использованием неравенства. Вы уверены, что это не имеет значения с точки зрения твердости? Я еще этого не проверял, поэтому просто спрашиваю.

— Джорджио Камерани

Я немного смущен обо всех ограничениях на . Если вы ищете информацию о выпуклой оболочке то в литературе по исследованию операций есть много результатов о многограннике ранцев 0-1. С точки зрения приблизительных формулировок, посмотрите на это .

O

$O$

S_{c}

$S_c$

— Остин Бьюкенен

Ответы:

Похоже, что это трудно сделать с помощью NP, уменьшив сумму подмножества. Предположим , что мы имели эффективную процедуру для вычисления . Учитывая положительные целые числа закодированные в двоичном виде, мы хотим проверить, существует ли подмножество, суммирующее . Предварительная обработка, выбрасывая любые целые числа больше . $O$ $v_1,\dots,v_n$ $s$ $s$

Вызовите процедуру, чтобы получить небольшой набор точек, удовлетворяющих , удовлетворяющих вашим условиям минимальности (предварительная обработка обеспечивает ). Этот набор, безусловно, будет содержать точку на гиперплоскости если она есть. $O$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ $|S_c|\geq n$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— Колин Маккуиллан
источник

Может быть, я пропускаю что-то макроскопическое здесь, но у меня есть 2 вопроса: 1) Когда вы говорите «Заданные двоичные числа», что вы подразумеваете под двоичным ?

принадлежат

. Может ты имеешь ввиду закодированный в двоичном виде? Или, может быть, вы хотели сказать положительное? 2) Зачем выбрасывать все целые числа больше

? Они могут способствовать решению. Например:

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

R

$\mathbb{R}$

s

$s$

если вы выбрасываете

вы теряете единственное решение

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$

v_{2}

$v_2$

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$

— Джорджио Камерани

Я думаю, что Колин имеет в виду, что если коэффициенты ограничения

являются рациональными числами в их обычном двоичном представлении, то ваша задача кажется NP-трудной. (Смешивать действительные числа и NP-твердость всегда сложно.)

a_{i}

$a_i$

— Джефф

@GiorgioCamerani: Мне нужно было сказать положительно - я обновил свой ответ.

— Колин МакКиллан

Мне кажется, вы пытаетесь добраться до выпуклой оболочки IP - по сути, это то, чего пытаются достичь алгоритмы разреза. Хотя на первый взгляд эти методы не очень привлекательны, на практике это плохо сказывается.

Есть все теории о генерации действительных неравенств. Хорошей отправной точкой была бы теория целочисленного программирования книги Шрайвера.

— AJ Студент
источник