Мой вопрос заключается в том, почему нижние оценки для логических схем глубины 3 с логическими элементами "и" и "xor" для определителя не подразумевают такие же нижние оценки для арифметических схем над ?
Что не так со следующим аргументом: Пусть - определитель, вычисляющий арифметическую схему, тогда, взяв все переменные mod 2, мы получим определитель, вычисляющий логическую схему.
Ответы:
Для арифметических схем над ваш аргумент совершенно прав. Тот же аргумент работает для арифметических схем над которые не используют дробей где четно.Q a / b b
Однако аргумент больше не работает, если вы говорите об арифметических схемах над другими кольцами, таких как: общие арифметические схемы над (т.е. без ограничения выше), , поля алгебраических чисел, или конечные поля с .R C F q q ≠ 2
(По сути, это та же самая причина, по которой в алгебраической геометрии часто рассматривается как так называемая «смешанная характеристика», а не нулевая характеристика.)
Однако булевы нижние оценки глубины 3 для цепей с {AND, OR, NOT} менее легко связаны с нижними оценками для арифметических схем над . (Да, {AND, XOR} - это полная основа, но, как правило, каналы глубины 3 по {AND, OR, NOT}, которые вы считаете воротами NOT свободными, в то время как при реализации NOT с XOR вы затем используете вентиль XOR, который вы фактически считаете Точно так же, хотя , когда вы реализуете этот единственный вентиль OR с AND и XOR, вы получаете небольшой гаджет глубины 3.) a ∨ b = ¬ ( ¬ a ∧ ¬ b )
Общее утверждение таково: пусть - многочлен с коэффициентами в кольце , и пусть - гомоморфизм кольца. Применяя к каждому коэффициенту вы получаете многочлен с коэффициентами в , который я . Затем нижняя граница для вычисления от -арифметических цепей означает то же нижняя граница для вычисления от -арифметических цепей.R φ : R → S φ f S f S f S S f R