Ограниченные вероятностные распределения по глубине

Два связанных вопроса об ограниченных вычислениях глубины:

1) Предположим, что вы начинаете с n битов, и начинаться с бита i может быть 0 или 1 с некоторой вероятностью p (i) независимо. (Если это упрощает задачу, мы можем предположить, что все p (i) s равны 0,1 или 1/2.~~или даже то, что все они 1/2.~~)

Теперь вы делаете ограниченное число раундов вычислений. В каждом раунде вы применяете обратимые классические ворота на непересекающихся наборах битов. (Исправьте ваш любимый набор универсальных классических реверсивных ворот.)

В конце вы получаете распределение вероятностей по строкам по n битам. Есть ли результаты по ограничению таких распределений?

Я ищу что-то похожее на лемму переключения Хастада, результат Боппаны, что общее влияние мало или теорема LMN.

2) Тот же вопрос, что и 1), но с ограниченными квантовыми цепями глубины.

— Гил Калай
источник

Я могу что-то упустить, но разве вопрос 1 со всеми равен тривиальным? Вы начинаете с равномерного распределения на , которое инвариантно относительно биекций.

p (i)

$p(i)$

1 / 2

$1/2$

{0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n$

— Клаус Дрегер

Является ли следующее полезное преобразование вашей проблемы? Преобразуйте ваши входные данные (вектор ) в вектор длиной представляющий распределение вероятностей по двоичным строкам длины . Теперь любое вычисление является квадратной стохастической матрицей, действующей (скажем) слева, чтобы произвести распределение вероятности по выходным строкам длины . WLOG мы можем предположить, что все записи являются двоичными. Единственный вопрос заключается в том, какой класс стохастических двоичных матриц можно получить с помощью ограниченного числа умножений матриц наших базисных матриц (обратимых вентилей).

p_{0}, p_{1}, \dots

$p_0,p_1,\dots$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

n

$n$

— Усул

Извините, я должен быть более точным. Под базисной матрицей здесь я подразумеваю не обратимые врата, а некоторый набор обратимых вентилей, действующих параллельно, и для меня не сразу очевидно, как будут выглядеть такие матрицы при использовании множества вентилей.

— Усул

Оба ответа заслуживают щедрости, я посмотрю, что я могу сделать

— Гил Калай

что вы подразумеваете под "непересекающимися наборами" битов?

— vzn

Ответы:

Есть несколько сравнительно недавних работ Эмануэле Виолы и др., Которые касаются сложности распределений выборки. Они сосредоточены на ограниченной модели вычислений, таких как деревья решений с ограниченной глубиной или схемы с ограниченной глубиной.

К сожалению, они не обсуждают обратимые ворота. Наоборот, часто есть потеря в выходной длине. Тем не менее, эти документы могут быть хорошей отправной точкой.

Схемы с ограниченной глубиной не могут выбирать хорошие коды

Сложность Распределений

— MassimoLauria
источник

Большое спасибо, Массимо! это выглядит очень актуально.

— Гил Калай

(Также меня интересует необратимый случай.)

— Гил Калай

Короткий ответ.

Для квантовых цепей имеется по крайней мере один не ограничивающий результат: произвольные квантовые схемы с ограниченной глубиной вряд ли будут симулироваться с небольшой мультипликативной ошибкой в вероятности результата, даже для классических схем с полиномиальной глубиной.

Это, конечно, не говорит вам о том, что на самом деле будут иметь схемы ; особенно если вы заинтересованы в решении проблем с ограниченной ошибкой, а не в распределении вероятностей. Однако это означает, что анализ с точки зрения деревьев решений, как и в случае с леммой Хостада о переключении , вряд ли будет готов к классическому моделированию этих цепей. $\mathsf{QNC^0}$

Детали

Мы можем рассмотреть определение квантовых цепей с полилоговой глубиной, данное Феннером и соавт. (2005) :

Определение. - это класс семейств квантовых цепей для которых существует полином для которого каждый содержит входных кубитов и не более свежих вспомогательных элементов, использует только одиночные кубитные и управляемые-не-ворота, и имеет глубину . $\mathsf{QNC^k}$ $\{C_n\}_{n\geqslant0}$ $p$ $C_n$ $n$ $p(n)$ $O(\log^k(n))$

Ворота с одним кубитом должны быть из фиксированного конечного набора, хотя этого достаточно для моделирования любого фиксированного унитарного числа с постоянным числом кубитов с любой фиксированной точностью. Мы также разрешаем использовать любое подмножество кубитов в конце цепи для представления выходных данных семейства схем (например, один кубит для булевых функций).

Бремнер, Йозса и Шеппард (2010) отмечают (см. Раздел 4), что, используя адаптацию техники телепортации в ворота из-за Терхала и Ди Винченцо (2004) , пост-выборка некоторых кубитов в Схема позволяет решать проблемы в . Используя их результаты по моделированию выбранных схем, это означает, что проблема классической выборки из выходного распределения произвольной схемы с логическим выходом, с мультипликативной ошибкой не более в вероятности выборки, заключается в невозможно со случайными полиномиальными контурами глубины, если полиномиальная иерархия не частично разрушается (в частности, $\mathsf{QNC^0}$ $\mathsf{PostBQP = PP}$ $\mathsf{QNC^0}$ $\sqrt 2$ $\mathsf{PH} \subseteq \Delta_3$ ).

— Ниль де Бодрап
источник

Уважаемый Ниль, Очень интересно! Благодарность! Я особенно заинтересован в дистрибутивах. Можете ли вы объяснить, почему "Это, конечно, не говорит вам ..."?

— Гил Калай

Результат неустранимости с постоянным множителем сохраняется через PostQNC⁰ = PostBQP = PP . Postselection используется здесь, чтобы «форсировать успех» длинной цепочки телепортаций, чтобы симулировать распределение с квантовой поли-глубиной через распределение с квантовой постоянной-глубиной, обусловленное событием с чрезвычайно низкой, но ненулевой вероятностью. Любой постоянный коэффициент аппроксимации также будет иметь место для многоуровневой схемы. Но это не говорит вам, например, о верхней границе того, сколько амплитуды в абсолютных (и асимптотических) терминах сконцентрировано (или может быть спроецировано) на какое-то конкретное подпространство.

— Ниль де Боудрап