Об оптимальности алгоритма Гровера с высокой вероятностью успеха

Хорошо известно, что сложность квантового запроса с ограниченной функцией функции равна . Теперь вопрос в том, что если мы хотим, чтобы наш квантовый алгоритм работал успешно для каждого входа с вероятностью а не обычным . Теперь с точки зрения какие будут соответствующие верхние и нижние границы? $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

Непосредственно для этой задачи достаточно запросов путем повторения алгоритма Гровера. Но из того, что я помню, это совсем не оптимально, так как даже простой алгоритм Гровера, если он выполняется аккуратно, то есть для соответствующего числа итераций, может достичь чего-то вроде всего за итераций. И, следовательно, используя это можно получить улучшение для всех . С другой стороны, я не ожидаю, что будет правильным ответом для очень маленьких . $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

Но мне интересно посмотреть, что можно показать в терминах зависимых верхних и нижних границ для разных диапазонов особенно когда очень мала, скажем, или для больших . $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

(Чтобы дать некоторый контекст, общее явление, к которому я обращаюсь, - это усиление в контексте сложности квантовых запросов.)

— Мухаммед Баварский
источник

В этом документе должны быть даны ответы на ваши вопросы: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— Джон Уотроус,

Хммм, я немного запутался в случае с . Кажется, что в этой статье arxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdf говорится, что с помощью итераций можно получить результат с высокой вероятностью, т.е. . (страница 2 внизу первого столбца) С другой стороны, в упомянутой вами статье в конце страницы 3 на странице 4 говорится, что вероятность невозможна для запросов.

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

— Мухаммед Баварский

@MohammadBavarian: Я думаю, что это только в том случае, если число решений известно (или есть уникальное решение).

— Робин Котари

Для полноты вот ответ.

Пусть обозначает сложность квантового запроса -error для вычисления функции а - это функция OR для битов, определяемая как . (Обратите внимание, что это отличается от проблемы, когда вам обещают, что вход имеет ровно 1, и цель состоит в том, чтобы найти это 1. Эта проблема может быть решена без ошибок в запросах .) $Q_\epsilon(f)$ $\epsilon$ $f$ $\mathsf{OR}_n$ $n$ $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ $\Theta(\sqrt{n})$

Тогда для всех , $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Это следует из границ для квантовых алгоритмов малой и нулевой ошибок .

На самом деле, мы знаем что-то более общее. Для всех симметричных функций , которые являются функциями, которые зависят только от веса Хэмминга на входе, мы имеем это для всех , $f$ $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

$Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$ .

Это было показано в заметке о квантовых алгоритмах и минимальной степени полиномов с ошибками эпсилона для симметричных функций .

— Робин Котари
источник