«Охраняемые» негативные явления в определении индуктивных типов, всегда плохо?

11

Я знаю, как некоторые негативные события могут окончательно быть плохими:

data False

data Bad a = C (Bad a -> a)

selfApp :: Bad a -> a
selfApp (x@(C x')) = x' x

yc :: (a -> a) -> a
yc f = selfApp $ C (\x -> f (selfApp x))

false :: False
false = yc id

Однако я не уверен, что:

все индуктивные типы с отрицательными значениями могут повернуть неправильно
если это так, существует известный механический способ сделать это;

Например, я боролся, пытаясь заставить этот тип пойти не так:

type Not a = a -> False

data Bad2 a = C2 (Bad2 (Not a) -> a)

Любой указатель на литературу по этому вопросу будет принята с благодарностью.

lo.logic type-theory soundness

— Ptival
источник

1

Это Coq? Haskell? Теория псевдотипа? Что вы подразумеваете под "пойти не так"?

— Дейв Кларк

@DaveClarke Извините, код написан на Haskell, но проблема больше связана с такими языками, как Coq или Agda, где запрещены негативные события. Под «пойти не так» я подразумеваю возможность написать термин, который расходится, таким образом, имея возможность заселить Ложь, как я это делал в своем примере на Хаскеле.

— Ptival

10

Причину запрета негативных явлений можно понять по аналогии с теоремой Кнастера-Тарского. Эта теорема говорит, что

если - полная решетка и - монотонная функция на , то множество неподвижных точек также является полной решеткой. В частности, существует наименьшее фиксированная точка и наибольший фиксированная точка . $L$ $f : L \to L$ $L$ $f$ $\mu{f}$ $\nu f$

В традиционной теории моделей решетки можно рассматривать как суждения, а отношение порядка можно понимать как следствие (т. Е. Правда связана с истинностью ). $L$ $p \leq q$ $q$ $p$

Когда мы переходим от теории моделей к теории доказательств, решетки обобщаются на категории. Типы можно рассматривать как объекты категории , а отображение представляет собой доказательство того, что может быть получена из . $\mathbb{C}$ $e : P \to Q$ $Q$ $Q$

Когда мы пытаемся интерпретировать типы, определенные рекурсивными уравнениями, ее, , очевидное, что нужно сделать, это искать обобщение теоремы Кнастера-Тарского. Таким образом, вместо монотонной функции на решетке мы знаем, что нам нуженфунктор , который отправляет объекты объектам, но обобщает условие монотонности, так что каждое отображение получает отображение (с условиями когерентности, что отправляет тождества в тождества и сохраняет композиции так, чтобы $\mathbb{N} = \mu \alpha.\;1 + \alpha$ $F : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ $e : P \to Q$ $F(e) : F(P) \to F(Q)$ $F$ ). $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$

Так что если вы хотите, чтобы индуктивный тип данных , вам также необходимо указать функторное действие в терминах для оператора типа , чтобы быть уверенным, что требуемая фиксированная точка существует. Условие строгой позитивности в Agda и Coq являетсясинтаксическимусловием, подразумевающим этосемантическоеограничение. Грубо говоря, он говорит, что если вы строите оператор типа из сумм и продуктов, то вы всегда можете составить функторное действие, и поэтому любой тип, сформированный таким образом, должен иметь фиксированную точку. $\mu \alpha.\;F(\alpha)$ $F$

В языках с зависимой типизацией у вас также есть индексированные и параметризованные типы, поэтому ваша реальная задача более сложна. Боб Атки (который писал об этом здесь и здесь ) говорит мне, что хорошее место для поиска этой истории:

Структурная индукция и коиндукция в фибрационном окружении , Клаудио Гермида и Барт Джейкобс 1997.
Фибрационные правила индукции для начальных алгебр , Нил Гани, Патриция Йоханн и Клемент Фумекс 2010.

Как отмечает Андрей, принципиально, хорошо или нет отрицательный случай, зависит от того, какая у вас модель теории типов. По сути, когда у вас есть рекурсивное определение, вы ищете фиксированную точку, и в математике существует множество теорем о фиксированной точке.

Лично я часто использовал теорему Банаха о неподвижной точке, которая гласит, что если у вас есть строго сжимающая функция в метрическом пространстве, то она имеет единственную неподвижную точку. Эта идея была введена в семантику Морисом Ниватом (IIRC) и была тщательно изучена Америкой и Руттеном, а недавно Биркедал и его сотрудники были связаны с популярной операционной техникой, называемой «пошаговая индексация».

Решение уравнений рефлексивной области в категории полных метрических пространств , Пьер Америка и Ян Дж. М. Руттен 1989.
Теоретико-категоричное решение рекурсивных уравнений в метрическом пространстве , Ларс Биркедал, Кристиан Стевринг и Якоб Темсборг. 2010.

Это порождает теории типов, где отрицательные вхождения в рекурсивных типах разрешены, но только когда отрицательные вхождения происходят в специальном конструкторе типа «осторожность». Эта идея была введена Хироши Накано, и связь с теоремой Банаха была сделана мной и Ником Бентоном, а также Ларсом Биркедалом и его соавторами.

Способ рекурсии , Хироши Накано, 2000.
Ультраметрическая семантика реактивных программ , Ник Бентон и Нил Кришнасвами, 2011.
Метрическая модель защищенной рекурсии , Ларс Биркедал, Ян Швингхаммер и Кристиан Стевринг, 2010.

— Нил Кришнасвами
источник

7

Иногда вы можете решить рекурсивные уравнения «по счастливой случайности».

A ≅ (A \to \emptyset) \to A,

$A \cong (A \to \emptyset) \to A.$

$A$ $A \to \emptyset \cong \emptyset$
$A ≅ \emptyset \to A ≅ 1.$ $A \cong \emptyset \to A \cong 1.$ $1$
$A$ $\emptyset \cong (\emptyset \to \emptyset) \to \emptyset \cong 1 \to \emptyset \cong \emptyset$

Вывод: есть два решения: пустой тип (который вы назвали False) и тип блока ().

A ≅ (A \to 2) \to 2,

$A \cong (A \to 2) \to 2,$

data Cow a = Moo ((a -> Bool) -> Bool)

$A \cong 2^{2^A}$ $A$ $2^{2^A}$

N ≅ 2^{2^{N}},

$\mathbb{N} \cong 2^{2^\mathbb{N}}.$

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

2^{2^{N}}

$2^{2^\mathbb{N}}$ Integer(Integer -> Bool) -> Bool

— Андрей Бауэр
источник

3

Трудно что-либо добавить к объяснениям Андрея или Нила, но я попробую. Я собираюсь попытаться рассмотреть синтаксическую точку зрения, а не пытаться раскрыть основную семантику, потому что объяснение более элементарно, и я дам более простой ответ на ваш вопрос.

$\lambda$

Важнейшей ссылкой является следующее:

Мендлер, Н. (1991). Индуктивные типы и ограничения типов в лямбда-исчислении второго порядка. Боюсь, я не нашел ссылку в Интернете. Заявления и доказательства могут быть найдены в докторской диссертации Накса (очень рекомендуется прочитать!).

$\mathrm{Bad}$

В a d знак равно В a d \to A

$\mathrm{Bad} = \mathrm{Bad}\rightarrow A$

$A$

λ Икс : В a d, Икс Икс : В a d \to A

$\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x: \mathrm{Bad}\rightarrow A$

и так

(λ Икс : В a d, Икс Икс) (λ Икс : В a d, Икс Икс) : A

$(\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x)\ (\lambda x:\mathrm{Bad}.x\ x): A$

В a d знак равно F (В a d)

$\mathrm{Bad} = F(\mathrm{Bad})$

F (X)

$F(X)$

X

$X$

F (X)

$F(X)$

Конечно, вы работаете не с эквалайзерами, а с конструкторами , т.е.

data Bad = Pack (Bad -> A)

а не строгое равенство. Однако вы можете определить

unpack :: Bad -> (Bad -> A)
unpack (Pack f) = f

этого достаточно для того, чтобы этот результат продолжался:

 (\x:Bad -> unpack x x) (Pack (\x:Bad -> unpack x x))

$A$

Во втором примере все немного сложнее, так как у вас есть что-то вроде

В a d знак равно {В a d}^{'} \to A

$\mathrm{Bad} = \mathrm{Bad}' \rightarrow A$

$\mathrm{Bad}'$ $\mathrm{Bad}$ $\mathrm{Bad}\ a$ $\mathrm{Bad}\ (\mathrm{Not}\ a)$

type Not a = a -> False

с участием

data Not a = Not a

Это было бы легко решить, если бы Haskell разрешил такие определения типов:

type Acc = Not Acc

В этом случае вы можете создать циклический комбинатор точно так же, как и раньше. Я подозреваю, что вы можете нести подобную (но более сложную) конструкцию, используя

data Acc = D (Not Acc)

Проблема здесь в том, что построить изоморфизм

Bad Acc <-> Bad (Not Acc)

Вы должны иметь дело со смешанной дисперсией.

— Коди
источник