Система доказательства суммы квадратов

Недавно я видел несколько статей об arxiv, которые ссылаются на систему доказательств под названием сумма квадратов.

Может кто-нибудь объяснить, что такое доказательство суммы квадратов и почему такие доказательства важны / интересны?

Как они связаны с другими алгебраическими системами доказательств? Они что-то вроде двойника Лассере?

Краткий обзор есть в arxiv.org/abs/1211.1958 . Базовая система SOS определяется на странице 3 (ищите Григорьева и Воробьева).

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

@ Эмиль, кажется, что статья содержит ответы на вопросы в посте (объясняет систему, ее историю и ее актуальность для последних работ), почему бы не опубликовать свой комментарий в качестве ответа?

— Каве

@ EmilJeřábek Я приму ваш комментарий, если вы отправите расширенную версию в качестве ответа.

— Аноним

Хорошо, я сделал это, хотя я бы предпочел, чтобы на него ответил кто-то, кто действительно понимает эти системы.

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику

Ответы:

Базовая система доказательства суммы квадратов, введенная Григорьевым и Воробьёвым под названием «Позитивстелленсатц опровержения» , представляет собой «статическую» систему доказательства, показывающую, что система полиномиальных уравнений и неравенств где

S = {f_{1} = 0, \dots, f_{k} = 0, h_{1} \geq 0, \dots, h_{m} \geq 0},

$S=\{f_1=0,\dots,f_k=0,h_1\ge0,\dots,h_m\ge0\},$

, не имеет общего решения в

: опровержение

задается полиномами

такими что

f_{1}, \dots, f_{k}, h_{1}, \dots, h_{m} \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

$f_1,\dots,f_k,h_1,\dots,h_m\in\mathbb R[x_1,\dots,x_n]$

R^{n}

$\mathbb R^n$

S

$S$

g_{i}

$g_i$

e_{I, j}

$e_{I,j}$

(Вместо

можно работать с любым действительно замкнутым полем.) Positivstellensatz Стенгла гарантирует, что

имеет опровержение тогда и только тогда, когда у него нет решения. Основной мерой сложности здесь являетсястепеньопровержения, которая является максимумом всех степеней полиномов, которые появляются под знаками суммы в

, то есть

\begin{matrix} (*) & - 1 = \sum_{i = 1}^{k} g_{i} f_{i} + \sum_{I \subseteq {1, \dots, m}} \sum_{j} e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i} . \end{matrix}

$\tag{$*$}-1=\sum_{i=1}^kg_if_i+\sum_{I\subseteq\{1,\dots,m\}}\sum_je_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i.$

R

$\mathbb R$

S

$S$

(*)

$(*)$

g_{i} f_{i}

$g_if_i$

e_{I, j}^{2} \prod_{i \in I} h_{i}

$e_{I,j}^2\prod_{i\in I}h_i$

Как обычно с алгебраическими системами доказательств, можно также рассматривать ее как систему опровержений для неудовлетворительных булевых формул , включив в аксиомы для каждой переменной и перевод помощью полиномиальных неравенств. $\phi$ $S$ $x_i^2-x_i$ $x_i$ $\phi$

Более подробную информацию об истории и развитии систем SOS можно найти по адресу http://arxiv.org/abs/1211.1958 .

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику
источник

Есть ли стандартная книга?

Также есть ли здесь применение теории моделей?

У Laserre есть недавняя книга по аспектам оптимизации. «Введение в полиномиальную и полуалгебраическую оптимизацию», опубликованное издательством Cambridge University Press.

— Чандра Чекури

$p(\vec{x}) \geq 0$ $p(\vec{x})$ $\vec{x}$

Правила вывода:

$\over x^2-x \geq 0$
$\over x-x^2 \geq 0$
$\over p(\vec{x})^2\geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})x \geq 0$
$p(\vec{x}) \geq 0 \over p(\vec{x})(1-x) \geq 0$
$p_1(\vec{x}) \geq 0, \cdots, p_m(\vec{x}) \geq 0 \over \sum_{i=1}^m c_ip_i(\vec{x}) \geq 0$ $c_1, \cdots, c_m \in \mathbb{R}^+$

$p(\vec{x})^2\geq 0$

Есть хорошие связи с полуопределенными алгоритмами программирования и аппроксимации.

Для получения дополнительной информации посмотрите недавний доклад Альберта Ацериаса на семинаре BIRS. Теоретические основы прикладного SAT-решения :

Альберт Ацериас , мини-учебник по полуалгебраическим системам доказательства ( слайды ), 2014

— Кава
источник

Эта формулировка такая же, как у Эмиля? Твое "динамическое", и, следовательно, допускает DAG-подобные доказательства, где Эмиль "статичен", и, следовательно, кажется, соответствует твоей древовидной версии. Таким образом, по-видимому, они различаются по сложности (например, степень, размер с точки зрения количества мономов и количества строк). Это правда?

— Иддо Цамерет

@ Идо, я думаю, ты прав. Мера сложности может не совпадать. Альберт очень кратко объясняет в своем выступлении соответствие для основной интересной меры сложности, если я правильно помню, но если кто-то интересуется другими мерами, тогда нужно быть более осторожным в формулировке.

— Kaveh

@Kaveh Я могу задать два связанных вопроса, если вы можете помочь, (1) cstheory.stackexchange.com/questions/30930/… (2) cstheory.stackexchange.com/questions/30932/…

— user6818