Эффективные и простые рандомизированные алгоритмы, где детерминизм сложен

Я часто слышу, что для многих задач мы знаем очень изящные рандомизированные алгоритмы, но нет или только более сложные детерминированные решения. Тем не менее, я знаю только несколько примеров для этого. Наиболее заметно

• Рандомизированная быстрая сортировка (и связанные геометрические алгоритмы, например, для выпуклых оболочек)
• Рандомизированный Минцут
• Проверка полиномиальной идентичности
• Проблема измерения Кли

Среди них только полиномиальное тестирование идентичности кажется действительно трудным без использования случайности.

Знаете ли вы больше примеров проблем, когда рандомизированное решение является очень элегантным или очень эффективным, а детерминированные решения - нет? В идеале, проблемы должны быть легко мотивированы для непрофессионалов (в отличие, например, от проверки полиномиальной идентичности).

Сортировка гайки и болты

Следующая проблема была предложена Роулинсом в 1992 году. Предположим, вам дан набор из n гаек и n болтов. Каждый болт соответствует ровно одной гайке, в противном случае гайки и болты имеют разные размеры. Размеры слишком близки, чтобы позволить прямое сравнение между парами болтов или парами гаек. Однако вы можете сравнить любую гайку с любым болтом, пытаясь скрутить их вместе; в постоянное время вы обнаружите, является ли болт слишком большим, слишком маленьким или подходящим для гайки. Ваша задача - выяснить, какой болт подходит для каждой гайки, или, что то же самое, отсортировать гайки и болты по размеру.

Простой вариант рандомизированной быстрой сортировки решает проблему за время с высокой вероятностью. Выберите случайный болт; используйте это, чтобы разделить орехи; используйте подходящую гайку для разделения болтов; и рекурсировать. Однако найти детерминистический алгоритм, который работает даже в o ( n 2 ) , нетривиально. Детерминированные O ( n log n ) -временные алгоритмы были наконец найдены в 1995 году Брэдфордом и независимо друг от друга Комлосом, Ма и Семереди. В обоих случаях оба алгоритма используют варианты параллельной сортировочной сети AKS, поэтому скрытая константа в O ( n log n )$O(n \log n)$$o(n^2)$$O(n\log n)$$O(n\log n)$ограничение по времени довольно большое; скрытая константа для рандомизированного алгоритма равна 4.

• Нога Алон, Мануэль Блюм, Амос Фиат, Сампат Каннан, Мони Ноар и Рафаил Островский. Подходящие гайки и болты. Proc. 5 числа ACM-SIAM Symp. Дискретные алгоритмы , 690–696, 1994.
• Нога Алон, Филипп Г. Брэдфорд и Рудольф Флейшер. Подходящие гайки и болты быстрее. Поставить в известность. Proc. Lett. 59 (3): 123–127, 1996.
• Филипп Дж. Брэдфорд. Подходящие гайки и болты оптимально. Tech. Отчет MPI-I-95-1-025, Институт Макса Планка, 1995 год. Http://domino.mpi-inf.mpg.de/internet/reports.nsf/NumberView/1995-1-025
• Филипп Г. Брэдфорд и Рудольф Флейшер. Подходящие гайки и болты быстрее. Proc. Шестой. Int. Symp. Алгоритмы Comput. , 402–408, 1995. Конспект лекций Comput. Sci. 1004.
• Янош Комлос, Юань Ма и Эндре Семереди. Подходящие гайки и болты за времени. SIAM J. Discrete Math. 11 (3): 347–372, 1998.$O(n\log n)$
• Грегори Дж. Э. Роулинс. По сравнению с чем? : Введение в анализ алгоритмов . Информатика Пресс / WH Freeman, 1992.

Если вы не просто говорите о поли-времени, а скорее смотрите на многие модели вычислений, которые мы изучаем, везде есть примеры:

В Logspace: Ненаправленное подключение ST (в RL с 1979 года и в L только с 2005 года)

В NC: Нахождение идеального соответствия в двудольном графе параллельно (в RNC и до сих пор неизвестно, что в NC)

В интерактивных доказательствах: детерминированные дают NP, в то время как рандомизированные могут делать PSPACE. Связанный: проверка доказательства детерминистически требует рассмотрения всех доказательств, в то время как доказательства PCP позволяют проверять только постоянное число битов.

В алгоритмическом проектировании механизмов: множество рандомизированных механизмов достоверного приближения без детерминированного аналога.

В сложности коммуникации: функция равенства требует линейной связи детерминистически, но логарифмически (или, в зависимости от точной модели, константы) связь случайно

В деревьях решений: оценка дерева и / или дерева требует линейных запросов детерминистически, но намного меньше с рандомизацией. Это по сути эквивалентно альфа-бета-обрезке, которая дает рандомизированный сублинейный алгоритм для оценки игрового дерева.

В потоковых моделях, моделях распределенных вычислений: см. Предыдущие ответы.

Большинство потоковых алгоритмов

В потоковой модели вычислений ( AMS , book ) алгоритм обрабатывает онлайн-последовательность обновлений и ограничивается только сублинейным пространством. В любой момент времени алгоритм должен иметь возможность ответить на запрос.

$t$$i_t \in [n]$$D_m = |\{i_t: t = 1\ldots m\}|$$m$$\Omega(n)$$O(\log n)$$O(\frac{1}{\epsilon^2} + \log n)$$1\pm \epsilon$

$n$$\Delta$$\min(\Omega(\log\Delta),\Omega(\sqrt{\log n}))$

$u$

1. $u$$1/d_u$$d_u>0$$u$$d_u=0$$u$
2. $u$$u$
3. $v$

$O(\log n)$$O(n^{1/\sqrt{\log n}})$

[1] Майкл Луби: простой параллельный алгоритм для задачи о максимальном независимом множестве. SIAM J. Comput. 15 (4): 1036-1053 (1986) http://dx.doi.org/10.1137/0215074

[2] Алессандро Панконези, Аравинд Шринивасан: О сложности разложения распределенных сетей. J. Алгоритмы 20 (2): 356-374 (1996) http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0017

[3] Фабиан Кун, Томас Москиброда, Роджер Ваттенхофер: Локальные вычисления: нижние и верхние границы. CoRR abs / 1011.5470 (2010) http://arxiv.org/abs/1011.5470

Выборы лидера в анонимном кольце процессов

$1$

Есть простой аргумент (например, [1]), что для анонимного кольца не существует детерминированного алгоритма выбора лидера.

Модель: мы предполагаем, что вычисления продвигаются в синхронных раундах, где в каждом раунде каждый процесс выполняет некоторые локальные вычисления, отправляет сообщения своим соседям по кольцу и получает сообщения от своих соседей.

$A$$r\ge 0$$1$

$r\ge 0$$r$$A$$r$$r$$r+1$$A$

$A$$n$$[1,n^4]$

[1] Дана Англуин: Локальные и глобальные свойства в сетях процессоров (расширенная аннотация). STOC 1980: 82-93. http://doi.acm.org/10.1145/800141.804655

Проблема большинства в модели запросов.

$n$$i$$j$

$n/2$$O(n)$

$O(n)$

FRK Chung, RL Graham, J. Mao и AC Yao. Забывчивые и адаптивные стратегии для задач большинства и множественности, Proc. COCOON 2005 , с. 329–338.