Интуиция позади систем доказательства

Я пытаюсь понять статью о p-оптимальных системах доказательства и логике для PTIME . В статье есть понятие, называемое системами доказательства, и я не понимаю интуиции:

$\Sigma = \{0,1\}$ ... Мы выявляем проблемы с подмножествами $Q$ в $\Sigma^*$,

Я думаю, что интуиция заключается в том, что мы кодируем определенную структуру в $\Sigma^*$ (например, неориентированные графы) и подмножества этих структур являются проблемами (например, плоские графы).

Система доказательств для проблемы$Q \subset \Sigma^*$ сюръективная функция $P:\Sigma^* \to Q$ вычислимо за полиномиальное время.

Теперь можно сказать, $\Sigma^*$это множество всех возможных моделей в определенной структуре (например, все неориентированные графы). Но это не имеет смысла, потому что почему неориентированные графы должны отображаться на подмножестве? Это могут быть закодированы машины Тьюринга, но это тоже не имеет смысла ...

Любые идеи?

Думать о $\Sigma^{*}$ кодирование каких-то объектов, и $Q$как совокупность всех объектов, удовлетворяющих некоторому свойству. Думать о$P$ как функция, которая принимает (кодирование) пары $(x, p)$ где $x$ это объект и $p$ якобы "доказательство" $x \in Q$, Функция$P$ является «проверкой проверки»: она проверяет, что $p$ на самом деле представляет собой достоверное доказательство того, что $x \in Q$, Если так, то возвращается$x$в противном случае он возвращает элемент по умолчанию $Q$,

В качестве примера предположим, $\Sigma^{*}$ кодирует графики и позволяет $Q$быть множеством (кодировок) гамильтоновых графов. Возможно$P$ это: декодировать ввод как $(G, \ell)$ где $G$ это график и $\ell$ список вершин $G$; подтвердите это$\ell$ гамильтонов цикл $G$; если так то вернись$G$ в противном случае верните график в одну точку.

Вы рассмотрели случай плоских графов. Чтобы получить подходящий$P$ нам нужно понятие поли-проверяемого времени доказательства плоскостности.

В общем вход на $P$ не нужно кодировать пару $(x, p)$, Важно то, что$P$ может извлечь две части информации из своего ввода: рассматриваемый объект и предполагаемые доказательства того, что объект принадлежит $Q$, Например, давайте возьмем в качестве$Q$множество всех предложений, доказуемых в некоторой теории первого порядка. Сейчас же$P$декодирует свой ввод как формальное доказательство. Если кодировка неверна, возвращается$\top$, Если кодировка представляет действительное доказательство, оно возвращает утверждение, которое было подтверждено доказательством (которое, вероятно, является корнем дерева доказательств или последней формулой в последовательности утверждений, в зависимости от того, как вы формализуете доказательства).

Вы должны подумать о вводе системы доказательства $P$ как текст доказательства $\pi$ элемента $q \in Q$, Если текст действителен, что$P(\pi) = q$, в противном случае $P(\pi)$ некоторые исправлены $q_0 \in Q$, Мы хотим$P$ быть polytime, поскольку это означает, что доказательство легко проверить.

В качестве примера предположим, $Q$ набор пропозициональных тавтологий, и $P$любая система доказательства в гильбертовом стиле, которая состоит из набора линий , каждая из которых является аксиомой или следует из предыдущих строк с помощью правила деривации (обычно Modus Ponens). Если доказательство действительно, то$P$должен вывести последнюю строку в доказательстве. В противном случае выведите некоторую фиксированную тавтологию, такую ​​как$p \lor \lnot p$,

Вернемся к первому вопросу, $Q$является кодировкой всех структур определенного типа, удовлетворяющих некоторому свойству. Одним из примеров является тавтология. Другим примером является множество всех не раскрашиваемых графов, которые имеют систему доказательств, известную как исчисление Хайоса.