Одноразовый квантовый удар

В статье « Квантовые случайные прогулки идут экспоненциально быстрее» ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Кемпе дает понятие времени удара для квантовых блужданий (в гиперкубе), которое не очень популярно в литературе по квантовым блужданиям. Это определяется следующим образом:

Один выстрел Квантовый Удар Время: Дискретный-квант времени ходьбы имеет $(T,p)$ один выстрел $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ -hitting времени , если $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ где $|\Psi_0\rangle$ начальное состояние, $|\Psi^f\rangle$ является целевое состояние, а $p>0$ вероятность удара.

Обычно вы хотели бы знать минимальный $T$ такой, что $p>0$ . Невозможно (поправьте меня, если я ошибаюсь) определить понятие среднего времени удара, потому что вам нужно будет проводить измерения во время прогулки, и это приведет к классической прогулке. Вот почему у нас есть понятие «один выстрел». В той же части работы есть приложение к квантовой маршрутизации (см. Раздел 5 ).

Чтобы узнать, что прогулка достигла целевой вершины, необходимо выполнить измерение только в этом узле. Например, в мерном гиперкубе с 2 n узлами, если вы начинаете с узла | Ψ 0 ⟩ = | 00 ... 00 ⟩ и иметь в качестве целевого узла | Ψ F ⟩ = | 11 ... 11 ⟩ , бумага показывает , что Т = О ( п ) с ограниченной вероятностью ошибки, т.е. р → 1 , как $n$$2^n$$|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$$|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$$T=O(n)$$p\to 1$$n$становится очень большим. Таким образом, чтобы обнаружить, что прогулка достигла вы делаете измерение после Ом ( п ) шагов. Это экспоненциальное ускорение.$|11\dots11\rangle$$\Omega(n)$

Вопросов:

1. Чтобы использовать это понятие времени поиска для поиска, вам нужно знать, по крайней мере, расстояние от целевой вершины до начала координат, потому что именно так вы знаете, когда применять измерения. Допустим, у вас есть граф , и вы установили в качестве начальной вершины v 0 и хотите достичь v f . Предположим также , что Т = О ( д I сек т ( v 0 , v е ) ) и р ≥ 1 / 2 . Ну $G$$v_0$$v^f$$T=O(dist(v_0,v^f))$$p\geq 1/2$$T$очевидно, потому что вам нужно, по крайней мере, столько шагов, чтобы достичь его. Имеет ли смысл использовать это время для поиска? Если вы знаете, где находится узел, в поиске нет никакого смысла, но наличие части информации, такой как «расстояние от начальной вершины», но не зная точно, где находится цель, дает ли это понятие времени удара какое-то интересное (стоит изучить ) алгоритм поиска?

2. Имеет ли смысл применение квантовой маршрутизации? В документе говорится, что его можно использовать для маршрутизации пакетов, но мне кажется, что вы можете отправить только 1 бит, например, он прибыл в пункт назначения или нет? Можете ли вы на самом деле отправить квантовое состояние в этой структуре? В статье этот вопрос не решается.

3. Возможно, это глупый вопрос, но здесь он идет. Можете ли вы использовать это понятие времени удара для построения «Обобщенного интерферометра Маха-Цендера»?

Мне известны другие представления о временах удара для квантовых прогулок (как у Сегеды или Сегеды Амбейниса ). Я особенно заинтересован в этом конкретном времени удара.

Обновление (24.09.2010): Благодаря Джо Фитцзимонсу вопросы 2 и 3 были полностью отвечены. Хотя вопрос № 1 все еще остается. Во-первых, я перефразирую вопрос 2 в более конкретных терминах теперь, когда я закончил читать статью, которую Джо рекомендовал мне и еще пару (например, см. ArXiv: 0802.1224 ), а затем я приведу конкретный пример того, что я имею в виду на вопрос 1.

2' . Если вы отправляете конкретное сообщение (например, последовательность классических битов), вы можете использовать более сложный унитарный код, который будет копировать эту информацию на этапах обхода. Для отправки квантовых состояний нужно нечто большее. Канал спиновых цепей использует линейный массив кубитов с фиксированной связью. Вы можете поместить состояние (чистое состояние, я не знаю, работает ли оно для смешанных состояний), которое вы хотите передать на одном конце, и оно переходит на другой конец с высокой точностью в соответствии с числовыми результатами. Я все еще должен подумать об этом, но у меня есть две идеи: i) поставить цепочку на каждом звене графика или ii) совершить обход, найти целевое состояние, затем установить канал между начальным состоянием и целью и затем отправить штат. Является ли любой из этих подходов правдоподобным? Это работает со смешанными государствами?

1' . Рассмотрим прогулку по двумерной сетке с центром в начале координат с узлами с каждой стороной длиной $n$ . Установите начальное состояние наv0=(0,0)и целевое состояние наvf=($\sqrt{n}$$v_0=(0,0)$гдеa=0,…,$v^f=(\sqrt{n}-1,a)$. Поскольку обход является симметричным, мы имеем то же самое время поражения и вероятности попадания для любой цели где-нибудь на границе сетки, как показано ниже.$a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

Поэтому у нас есть информация, что . Мы можем использовать это, чтобы знать, когда проводить измерения. Можно ли использовать время удара одним выстрелом для поиска в этой сетке? Здесь вам нужна эта информация. Открытая проблема в поиске сетки состоит в том, что мы знаем, чтоΩ($dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$является нижней границей для поиска, а для сеток наилучшей верхней границей являетсяO($\Omega(\sqrt{n})$. Либо мы не можем найти лучший алгоритм, либо методы для проверки нижних границ при использовании их на сетках дают слабую нижнюю границу. Можете ли вы показать, что единственный способ пойти ниже$O(\sqrt{n\log n})$ имеет "часть информации" в качестве вопроса? Это подразумевало бы способ доказательства нижней границы для сеток. Есть ли смысл?$\sqrt{n\log n}$

Я не очень знаком с этой статьей, но постараюсь дать грубый ответ на каждый из ваших вопросов после беглого просмотра.

1. $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$$O(\sqrt{n})$$T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
2. Я предполагаю, что автор берет целый пакет, чтобы сделать случайную прогулку. Очевидно, что это требует несколько более сложных унитарных, но я не вижу проблемы. С другой стороны, у Burgarth и Bose есть очень хорошая схема для кодирования информации в идентичных графах, которая также работала бы, если бы вы просто заменили их 1d-цепочки выбранной сетью ( quant-ph / 0406112 ).
3. Ну, вам не нужно это понятие о времени удара. Гиперкубы имеют идеальную передачу состояния (см., Например, quant-ph / 0309131 и quant-ph / 0411020 ), поэтому вы можете просматривать перенос на гиперкубе как интерферометр с интерферометром Маха-Цендера, соответствующим 2-му случаю.

ОБНОВЛЕНИЕ: (Чтобы ответить на обновленный вопрос относительно случайных прогулок по сетке или другой решетке)

Один из подходов к проблеме измерения, которую вы выдвигаете на первый план в проблеме пространственного поиска, состоит в том, чтобы просто выполнить измерение на каждом временном шаге так, чтобы оно возвращало 1, если вершина, в которой находится ходок (скажем, $v_t$$v^f$

Что касается вопроса 1, то известное расстояние между неизвестной целевой вершиной и некоторой известной исходной вершиной в гиперкубе может помочь процессу поиска. Однако само значение расстояния определяет, насколько полезна эта информация.

Типичные алгоритмы квантового блуждания обычно являются вариациями / аппроксимациями поиска Гровера: они включают в себя приблизительный поворот вектора состояния в 2-мерном подпространстве полного гильбертова пространства.

Вы можете использовать эти алгоритмы для эффективной подготовки приблизительно равномерной суперпозиции всех вершин на заданном расстоянии от начала координат. Затем вы можете выполнить поиск своей вершины-цели внутри этой суперпозиции с помощью квантового или классического (Монте-Карло) поиска: для классического поиска просто подготовьте суперпозицию, измерьте ее в базисе вершин и повторяйте, пока не найдете цель. Для квантового поиска процедура подготовки суперпозиции (и ее обратная) становится подпрограммой, которая заменяет преобразование Адамара в итерации Гровера.

$n$$d$$\binom{n}{d}$$\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$) находятся на $\approx n/2$ расстояние: хотя вы можете эффективно подготовить суперпозицию этих вершин, поиск цели внутри нее все еще занимает экспоненциальное время.