Алгоритмы лог-пространства на графах с ограниченной шириной дерева

Ширина дерева показывает, насколько близок график к дереву. NP-трудно вычислить ширину дерева. Наиболее известный алгоритм приближения достигает $O(\sqrt{{\log}n})$ фактор.

Теорема Курселя гласит, что любое свойство графов, определяемых в монадической логике второго порядка (MSO2), может быть определено за линейное время на любом классе графов ограниченной ширины дерева . Недавняя работа показала, что теорема Курселя все еще остается в силе, когда «линейное время» заменяется на «логпространство». Однако это не решает пространственную сложность изоморфизма графов на графах с ограниченной шириной дерева. Самый известный результат помещает его в LogCFL.

Есть ли другие проблемы, которые:

NP-сложный (или неизвестный в P) на общих графах, и
известно, что разрешимо за линейное / полиномиальное время на графах с ограниченной шириной дерева, и
НЕ известно, чтобы быть в LogSpace?

— Шива Кинтали
источник

Какой

упоминается в факторе приближения?

n

$n$

— gphilip

- количество вершин во входном графе.

n

$n$

— Шива Кинтали

Мы можем, в общем, сделать лучше, чем

в аппроксимирующей ширине дерева. Лучший из известных мне алгоритмов аппроксимации за полиномиальное время дает

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

коэффициент аппроксимации, где

- ширина графика. См. Feige, Hajiaghayi и Lee,Улучшенные алгоритмы аппроксимации для вершинных сепараторов минимального веса, STOC 2005.

O (\sqrt{\log w})

$O(\sqrt{\log w})$

w

$w$

— gphilip

Полином Татте является примером.

Это обобщение хроматического полинома , которое само по себе является проблемой # P-hard в любой разумной формулировке. В

Оценка полинома Тутте для графов ограниченной ширины дерева , С. Д. Нобл, Комбинаторика, Вероятность и вычисления, 1998,

$O(f(k)n^{4+\epsilon})$ $k$ $n$ , где проблема сложности обсуждается в разделе 8.

Кажется, что проблема не может быть выражена непосредственно в MSO2, хотя я не знаком с подробными определениями ... Надеюсь, эта проблема - то, что вам нужно!

— Сянь-Чжи Чан 張顯之
источник

Что такое функция F?

— Майкл Блондин

k

$k$

O (2^{(k^{3 + ϵ})})

$O(2^{(k^{3+\epsilon})})$

Маковски говорит, что «все полиномы графов, изученные в литературе, определены SOL», и дает формулировку полинома Тутте в терминах SOL, стр. 15 «От зоопарка к зоологии: на пути к общей теории полиномов графов». В «Алгоритмическом использовании теоремы Фефермана-Vaught» он расширяет теорему Курселя, чтобы показать возможность отслеживания для полиномов, определяемых SOL, на ограниченных графах ширины дерева.

— Ярослав Булатов