Можем ли мы рассчитывать на глубину

Можем ли мы вычислить битный пороговый вентиль по схемам с полиномиальным размером (неограниченным разветвлением) глубиной lg $n$ ? В качестве альтернативы, мы можем посчитать число 1 во входных битах, используя эти схемы?$\frac{\lg n}{\lg \lg n}$

Является ли ?$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n))$

Заметим , что . Таким образом, вопрос, по сути, заключается в том, можем ли мы сохранить коэффициент lg lg n в глубине цепей при вычислении пороговых значений.$\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))$$\lg \lg n$

Редактировать:

Как писал Кристоффер в своем ответе, мы можем сохранить фактор . Но можем ли мы сэкономить немного больше? Можем ли мы заменить O ( LG $\lg \lg n$сO(LG$O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$?$o(\frac{\lg n}{\lg \lg n})$

Мне кажется, что многослойный трюк с грубой силой не работает для сохранения даже (в общем, любой функции в lg lg n + ω ( 1 ) ).$2 \lg \lg n$$\lg \lg n + \omega(1)$

Рассмотрим схему Fanin 2 из глубины O ( журнал п ) . Разделите слои C на O ( log n / log log n ) блоков каждого из log log n последовательных слоев. Теперь мы хотим заменить каждый блок схемой глубины 2. А именно, каждый шлюз в последнем слое блока зависит не более чем от 2 log log n = log $C$$O(\log n)$$C$$O(\log n/\log\log n)$$\log\log n$$2^{\log\log n} = \log n$ворота последнего слоя в блоке ниже. Таким образом, мы можем заменить каждый вентиль в последнем слое на DNF полиномиального размера с входами, которые являются воротами в последнем слое блока ниже. Делая это для всех ворот в последних слоях для всех блоков и соединяя их, вы получите желаемую схему.

Позвольте мне отметить, что это, по сути, лучшее, что можно получить: лемма о переключении допускает нижние оценки вплоть до глубины .$\log n/ \log\log n$