Проблемы, которые можно использовать, чтобы показать результаты твердости за полиномиальное время

58

При разработке алгоритма для новой задачи, если я не смогу найти алгоритм полиномиального времени через некоторое время, я мог бы попытаться доказать, что он NP-сложный. Если мне это удастся, я объяснил, почему я не смог найти алгоритм полиномиального времени. Не то, чтобы я точно знал, что P! = NP, просто это лучшее, что можно сделать с текущими знаниями, и на самом деле все согласны с тем, что P! = NP.

Точно так же, скажем, я нашел решение за полиномиальное время для некоторой проблемы, но время выполнения равно . После многих усилий я не прогрессирую в улучшении этого. Так что вместо этого я мог бы попытаться доказать, что это 3SUM-hard вместо этого. Обычно это удовлетворительное положение дел, не потому, что я убежден, что 3SUM действительно требует времени, а потому, что это современное состояние, и многие умные люди пытались его улучшить, и не удалось. Так что я не виноват, что это лучшее, что я могу сделать. $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

В таких случаях лучшее, что мы можем сделать, - это получить результат твердости вместо действительной нижней границы, поскольку у нас нет суперлинейных нижних оценок для машин Тьюринга для задач в NP.

Существует ли единообразный набор проблем, которые можно использовать для всех полиномиальных периодов времени? Например, если я хочу доказать, что маловероятно, что какая-то проблема имеет алгоритм лучше, чем , есть ли проблема X такая, что я могу показать, что она X-трудная, и оставить все как есть? $O(n^7)$

Обновление : этот вопрос изначально задавался для семейства проблем. Поскольку семейства проблем не так много, и этот вопрос уже получил отличные примеры отдельных трудных проблем, я смягчаю вопрос о любой проблеме, которую можно использовать для получения результатов твердости за полиномиальное время. Я также добавляю награду к этому вопросу, чтобы поощрить больше ответов.

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— Робин Котари
источник

5

Страница maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html обобщает некоторые результаты о нижних (и верхних) границах 3SUM и связанных проблемах и заслуживает прочтения.

— Цуёси Ито

2

Отсутствие суперлинейных нижних границ относится к ТМ с минимум двумя лентами, не так ли? Я помню, как читал где-то, что проверка палиндрома на однотонной ТМ имеет нижнюю границу квадратичного времени. Когда мы говорим о нижних границах внутри

, типа

и

, все еще нормально предположить, что точная модель TM не имеет большого значения?

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip

3

Не по теме: Робин, Цуёси, спасибо за представление семейства нижних границ 3SUM: я никогда не слышал о них раньше.

— gphilip

2

@Tsuyoshi: Спасибо за информацию. Это хороший опрос на эту тему: cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf . @gphilip: Меня недавно познакомили с этой проблемой некоторые вычислительные геометры. Я думаю, что это очень хорошо известно в этой области.

— Робин Котари

Отличный вопрос Не могли бы вы уточнить, что вы подразумеваете под «униформой»: хотите ли вы ограничить объем предварительной обработки параметра?

— Андрас Саламон

35

Да, самый известный алгоритм для -SUM выполняется за времени, поэтому вполне возможно, что вы могли бы утверждать, что некоторая проблема трудна, потому что если она находится в то вы можете решить - СУММА быстрее. $k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

$k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ $k$

$k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

$3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ $P \neq NP$ $n^2$ $n^2$

— Райан Уильямс
источник

4

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

n^{2}

$n^2$

@ Райан: Вы правы, они одинаковы. Хотя, с k-SUM, по крайней мере, у нас есть доказательства в более слабых моделях, что предполагаемая оценка верна. Я не знаю ни одного аргумента, который бы предполагал, что 3-клика не должна решаться быстрее, чем умножение матриц.

— Робин Котари

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

14

$\Omega^\star(n^3)$

— Михай
источник

2

Как насчет диаметра графика? А еще лучше сделайте решение проблемы «Диаметр не менее k?». Насколько я знаю, это имеет то преимущество, что не имеет явной суперлинейной границы.

— Рафаэль

9

$d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

$(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

Дж. Эриксон, С. Хар-Пелед и Д. М. Маунт, О проблеме наименьшего срединного квадрата, дискретной и вычислительной геометрии, 36, 593-607, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

Дж. Эриксон и Р. Зайдель. Лучше нижние оценки при обнаружении единичных и сферических вырождений. Дискретный компьютер Geom., 13: 41–57, 1995. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

Дж. Эриксон. Новые нижние оценки для задач выпуклой оболочки в нечетных измерениях. SIAM J. Comput., 28: 1198–1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— Гильерме Д. да Фонсека
источник

Мне нравится этот ответ, но не могли бы вы объяснить? Почему в это верят?

— Аарон Стерлинг

8

$\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— Jeffε
источник

7

Есть ли негеометрические задачи, которые сводятся к проблеме Хопкрофта?

— Суреш Венкат

Я решил назначить награду за этот ответ, потому что я никогда не слышал об этой проблеме раньше.

— Робин Котари