Гауссово исключение с точки зрения группового действия

Гауссовское исключение делает определитель матрицы полиномиальным временем вычислимым. Снижение сложности в вычислении детерминанта, которое в противном случае является суммой экспоненциальных членов, обусловлено наличием альтернативных отрицательных признаков (отсутствие которых делает вычисление постоянным, является $\#P\mbox{-}hard$ т. Е. Сложнее, чем проблемы $NP\mbox{-}C$ ) , Это приводит к некоторой симметрии в определителе, например, обмен пары строк или столбцов просто меняет знаки. Я где-то читал, вероятно, в связи с голографическими алгоритмами, введенными Valiant, что устранение Гаусса может быть объяснено с точки зрения групповых действий, и это, в свою очередь, приводит к общим методам снижения сложности.

Кроме того, я чувствую, что почти любой источник уменьшения сложности для любой вычислительной задачи - это своего рода симметрия. Это правда? Можем ли мы строго формализовать это с точки зрения теории групп?

редактировать

Я нашел ссылку . (стр. 2, последняя строка второго абзаца). Я не правильно понял статью. Если мой вопрос основан на неправильном понимании статьи, пожалуйста, исправьте меня.

В случае определителя гауссовское исключение действительно можно рассматривать как эквивалентное идее, что определитель имеет большую группу симметрии (определенной формы) и характеризуется этой группой симметрии (имеется в виду любая другая однородная степень многочлен от n 2 переменных). с этими симметриями должен быть скалярным кратным определителя). (И, что касается точки @Tsuyoshi Ito, что симметрии перманента, кажется, не помогают вычислить его эффективно: хотя перманент также характеризуется своими симметриями, его группа симметрии намного меньше, чем у детерминанта.)$n$$n^2$

Вы можете найти описание этого - где симметрии детерминанта используются для исключения Гаусса, а также доказательство того, что детерминант характеризуется своими симметриями - в предложении 3.4.3 моего тезиса (бесстыдное самоподключение - но кроме того, я никогда раньше не видел, чтобы это формулировалось таким образом и было написано во всех подробностях, как того требовал ОП, хотя я уверен, что это было сделано; я был бы рад, если бы у кого-то были другие ссылки).

Что касается идеи о том, что симметрия всегда приводит к снижению сложности (или нет), в дополнение к тому, что уже есть в комментариях, смотрите этот вопрос и его ответы.

Интересным моментом является то, что в первых работах Валианта о том, что сейчас известно как версия теории алгебраической сложности Валианта, он пытался подчеркнуть, что одна из причин, по которым детерминант важен в вычислительном отношении, состоит в том, что примерно все (тогда) известные эффективные алгоритмы могут быть сводится к линейной алгебре и, следовательно, к вычислению определителя, например, алгоритм FKT для подсчета совпадений в плоских графах. Это, конечно, преувеличение, но продолжает подтверждаться исследованиями голографических алгоритмов, которые часто сводятся к вычислению пфаффиана (близкого родственника детерминанта). Конечно, Валиант знал, что это преувеличение, но вот точная цитата, чтобы убедиться, что я не искажаю ( Л. Валиант. Занятия по полноте в алгебре. ACM STOC 1979 ):

Наши основные выводы можно резюмировать примерно следующим образом:

(а) Линейная алгебра предлагает по существу единственный быстрый метод вычисления многомерных многочленов средней степени

(б) ...

Есть случаи, когда симметрии задачи (кажется) характеризуют ее сложность. Один очень интересный пример - проблемы удовлетворения ограничений (CSP).

Определение CSP

$U$$\Gamma$$k$$U^k$$\{0, 1\}$$V$$\Gamma$$\phi:V \rightarrow U$

$\Gamma$$U$$\{0, 1\}$$\Gamma$$k$$U$$\{0, 1\}$

Полиморфизм

$\phi_1, \ldots, \phi_t$$f:U^t \rightarrow U$$\phi$$\phi(v) = f(\phi_1(v), \ldots, \phi_t(v))$$f$$t$

$f(x, y, z) = x + y + z \pmod 2$$f(x, x, y) = f(y, x, x) = y$$f$

$f(x, y) = x$

Полиморфизмы и сложность (гипотеза дихотомии)

$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_1$$\Gamma_2$$\Gamma_2$$\Gamma_1$

Основной открытой проблемой в теории сложности является характеристика жесткости CSP. Гипотеза о дихотомии Федера и Варди утверждает, что любой CSP либо в P, либо в NP-полных. Гипотеза может быть сведена к утверждению о полиморфизмах: CSP является NP-сложным тогда и только тогда, когда единственные полиморфизмы, которые он допускает, являются «диктаторами» (в противном случае он находится в P). Т.е. CSP сложно, только если не существует локального способа формирования подлинно новых решений из старых решений. Часть if (твердость) известна, но единственная часть if (разработка алгоритма polytime) открыта.

$U = \{0, 1\}$ ). Согласно теореме Шефера булева CSP находится в P, если она допускает один из 6 полиморфизмов, в противном случае она NP-полна. Шесть полиморфизмов - это, в основном, то, что вам нужно, чтобы решить проблему либо путем исключения Гаусса, либо путем распространения (как, например, с помощью horn-sat), либо решить ее с помощью тривиального задания.

Чтобы узнать больше о полиморфизмах, универсальной алгебре и гипотезе о дихотомии, вы можете посмотреть обзор Булатова .

Полиморфизмы и аппроксимируемость

Я также рекомендую лекцию IAS Прасада Рагхавендры, где он ставит свой результатдать оптимальную аппроксимируемость любого CSP, предполагая уникальную гипотезу игр в аналогичной структуре. На высоком уровне, если все полиморфизмы (которые необходимо обобщить для решения проблем аппроксимации) CSP близки к диктаторам, можно использовать CSP для разработки способа проверки, является ли функция диктатором, и это оказывается быть всем, что вам нужно для того, чтобы дать жесткость сокращения аппроксимации от уникальных игр. Это дает направление твердости его результата; алгоритмическое направление состоит в том, что, когда CSP имеет полиморфизм, который далек от диктатора, можно использовать принцип инвариантности (обобщение центральных предельных теорем), чтобы утверждать, что алгоритм округления SDP дает хорошее приближение. Действительно схематичная интуиция для алгоритмической части: полиморфизм, который далек от диктатора, не ' не волнует, заданы ли они в качестве аргументов (распределение по) присвоениям переменных или гауссовским случайным переменным, которые локально аппроксимируют распределение по назначениям переменных. Это так же, как функция суммы «не заботится», если ей даны дискретные случайные величины с малой дисперсией или гауссовские числа с той же дисперсией по центральной предельной теореме. Гауссовы случайные переменные, которые нам нужны, могут быть вычислены из релаксации SDP задачи CSP. Таким образом, мы находим полиморфизм, далекий от диктатора, подаем его гауссовским образцам и получаем хорошее решение обратно. если ему даны дискретные случайные величины с малой дисперсией или гауссовые числа с той же дисперсией, по центральной предельной теореме. Гауссовы случайные переменные, которые нам нужны, могут быть вычислены из релаксации SDP задачи CSP. Таким образом, мы находим полиморфизм, далекий от диктатора, подаем его гауссовским образцам и получаем хорошее решение обратно. если ему даны дискретные случайные величины с малой дисперсией или гауссовые числа с той же дисперсией, по центральной предельной теореме. Гауссовы случайные переменные, которые нам нужны, могут быть вычислены из релаксации SDP задачи CSP. Таким образом, мы находим полиморфизм, далекий от диктатора, подаем его гауссовским образцам и получаем хорошее решение обратно.