Оптимальные жадные алгоритмы для NP-сложных задач

Жадность, из-за отсутствия лучшего слова, это хорошо. Одной из первых алгоритмических парадигм, изучаемых в курсе вводных алгоритмов, является жадный подход . Жадный подход приводит к простым и интуитивно понятным алгоритмам для многих задач в P. Более интересно, что для некоторых NP-трудных задач очевидный и естественный жадный / локальный алгоритм приводит к (доказуемо) оптимальному коэффициенту аппроксимации (при подходящих теоретических предположениях сложности). Классическим примером является проблема Set Cover . Естественный жадный алгоритм дает коэффициент аппроксимации O (ln n), который является оптимальным, если P = NP.

Назовите некоторые естественные жадные / локальные алгоритмы для NP-сложных задач, которые доказуемо оптимальны при подходящих теоретических предположениях сложности.

Метод условных ожиданий (для дерандомизации алгоритмов «случайного назначения» для Max-Cut и Max-SAT) можно рассматривать как жадную стратегию: для вы выбираете значение переменной x i, например что ожидаемое количество ограничений, удовлетворяющих в результирующем уменьшенном экземпляре, превышает ожидаемое количество ограничений, удовлетворяемых в текущем экземпляре. (На самом деле, жадный алгоритм для 1 / 2- аппроксимации Max-Cut такой же, как алгоритм «метода условных ожиданий» для 1 / 2- аппроксимации Max-Cut.)$i=1,\ldots,n$$x_i$$1/2$$1/2$

Поскольку метод также работает для Max-E3-SAT и достигает -аппроксимации, это пример жадного алгоритма , который является оптимальным приближением , если P = N P (ср Hastad и Moshkovitz-Рац результатов inapproximability для Max -E3-сБ).$7/8$$P=NP$

Покрытие вершин: лучший алгоритм аппроксимации постоянным множителем включает (жадно) поиск максимального соответствия и выбор всех задействованных вершин в качестве приближенного решения. Это дает 2-приближенное решение, и лучшая аппроксимация с постоянным коэффициентом невозможна, если гипотеза об уникальных играх не ложна.

Субхаш Хот и Одед Регев, Покрытие вершин может быть трудно приблизить с точностью до 2-ε , JCSS 74 (3), 2008.

Не по теме: я думаю, что это действительно симпатичный алгоритм аппроксимации, тем более что он очень простой с точки зрения задним числом.

По заданному графу найдите ациклический подграф с максимальным числом ребер.

Тривиальный алгоритм 2-аппроксимации: выберите произвольный порядок вершин и возьмите либо передние ребра, либо задние ребра.

Известно, что победить в 2-аппроксимации сложно в уникальных играх (хотя это может быть и не NP-сложная игра).

• Сложно победить случайный порядок: неприемлемость максимального ациклического подграфа Венкатесан Гурусвами, Раджсекар Манокаран и Прасад Рагхавендра.

Субмодульная максимизация с учетом ограничения мощности имеет жадное приближение 1-1 / e. Алгоритм принадлежит Немхаузеру, Волси, Фишеру. Твердость NP следует из np-твердости установленного покрытия, так как максимальное покрытие является частным случаем субмодульной максимизации.

Жадность дает приближение (1-1 / e) к Max-k-cover, и это нельзя улучшить, если P = NP.

Нахождение минимальной степени MST. Это сложно, так как поиск гамильтонова пути - это особый случай. Алгоритм локального поиска дает с точностью до аддитивной постоянной 1.

Ссылка

Аппроксимация дерева Штейнера минимальной степени с точностью до одного из оптимальных

$k$$G = (V,E)$$d_{ij} \geq 0$$i,j \in V$$k$

$k$$S \subseteq V, |S| = k$$k$$k$$k$$r$$r$

$i \in V$$S$$|S| < k$$j \in V$$d(j,S)$$S$$|S| = k$

$2$$k$$\rho$$\rho < 2$$P = NP$$k$$k$$2$

$P|prec|C_{max}$

Условная твердость старшинства, ограниченная диспетчеризация на идентичных машинах Ола Свенссон

Возможно, это также вас заинтересует (адаптировано из методов для перевода глобальных ограничений в локальные )

Поскольку жадные методы (точнее локальные методы) используют только локальную информацию для достижения глобальной оптимизации, если найдены способы, которые могут преобразовывать глобальные условия в условия, которые можно использовать, используя только локальную информацию, это обеспечивает (глобально) оптимальное решение проблем используя только жадные / локальные методы.

Ссылки:

1. Думай глобально, подгоняйся локально: неконтролируемое изучение низкоразмерных коллекторов (журнал Machine Learning Research 4 (2003))
2. Глобальная оптимизация с использованием локальной информации с приложениями для управления потоком, Bartal, Y.
3. Почему натуральный градиент ?, Амари С., Дуглас С.К.
4. Локальная оптимизация глобальных задач: конкурентное решение распределенного тупика и распределение ресурсов, Awerbuch, Baruch, Azar, Y.
5. Обучение с локальной и глобальной последовательностью
6. Проблемы удовлетворения ограничений, решаемые методами локальной согласованности

Существует несколько ссылок, которые решают проблему перевода глобальных функций оценки (или ограничений) в локальные (с использованием локальной информации) и их согласованности (т.е. сходимости к одному и тому же глобальному оптимуму):

1. Локальные функции оценки и глобальные функции оценки для вычислительной эволюции, ХАН Цзин, 2003
2. Выход из локальной функции оценки, Хан Цзин и Цай Циншен, 2002

Аннотация (из 1. выше)

В данной статье представлен новый взгляд на вычислительную эволюцию с точки зрения локальности и глобальности функций оценки для решения классической комбинаторной задачи: проблема kcoloring (проблема решения) и задача минимальной раскраски (задача оптимизации). Сначала мы рассмотрим современные алгоритмы и смоделируем проблему раскраски как многоагентную систему. Затем мы покажем, что существенное различие между традиционными алгоритмами (локальный поиск, например, имитация отжига) и распределенными алгоритмами (такими как модель Alife & AER) заключается в функции оценки: имитация отжига использует глобальную информацию для оценки состояния всей системы, которая называется метод Глобальной функции оценки (ГЭФ); модель Alife & AER использует локальную информацию для оценки состояния одного агента, который называется методом локальной функции оценки (LEF). Мы сравниваем характеристики методов LEF и GEF для решения задач k-раскраски и задач минимальной раскраски. Результаты компьютерных экспериментов показывают, что LEF сопоставим с методами GEF (имитация отжига и жадности), во многих проблемных случаях LEF побеждает методы GEF. В то же время мы анализируем взаимосвязь между ГЭФ и ЛЭФ: последовательность и несогласованность. Теорема согласованности показывает, что равновесия по Нэшу LEF идентична локальным оптимумам GEF, когда LEF согласуется с GEF. Эта теорема частично объясняет, почему LEF может привести систему к глобальной цели. Предлагаются некоторые правила построения согласованного LEF. В дополнение к последовательности,

Specificaly методы бумажных адресов в determnine является ли локальная функцией (LEF) в соответствии с глобальной функцией (ГЭФ) и методой построить последовательный МЭФ из приведенных GEFs ( теорема Консистенции ).

Выдержка из раздела Заключение (из 1. выше)

Эта статья - только начало исследований LEF & GEF. В дополнение к отчету об исследованиях, приведенном выше, предстоит еще много работы: больше экспериментов с методами LEF; аналитическое исследование на LEF; достаточность местной информации для LEF; и наличие согласованного GEF для любого LEF; Достаточно ли концепции согласованности? Поскольку генетические алгоритмы также имеют функцию оценки (фитнес-функцию), можем ли мы применить LEF & GEF к генетическим алгоритмам? … Мы намерены изучить и попытаться ответить на все эти вопросы