Означает ли разрыв нулевой целостности нулевой разрыв двойственности для определенных задач?

Мы знаем, что если разрыв между значениями целочисленной программы и ее двойственной («двойственность разрыв») равен нулю, то линейные программные релаксации целочисленной программы и двойственной релаксации, оба допускают интегральные решения (нулевая) интегральность разрыв "). Я хочу знать, верно ли обратное, по крайней мере, в некоторых случаях.

$P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$ $A$ $0-1$ $P'$ $P$ $P'$

Буду признателен за любые контрпримеры или указатели ..

— Анкур
источник

@Kaveh не уверен, что аппроксимационные алгоритмы - правильный тег здесь. или даже ds.algorithms

— Суреш Венкат

В первом абзаце, что вы подразумеваете под двойной целочисленной программой? Полезно взглянуть на книгу Шрайвера по линейному и целочисленному программированию, чтобы понять основы теории многогранников и, в частности, когда релаксации линейного программирования имеют целочисленные вершины. Матрицы TUM и системы неравенств TDI имеют отношение к вашему вопросу.

— Чандра Чекури

@Suresh, линейное программирование и оптимизация не попадают в алгоритмы?

— Каве

@ChandraChekuri Я говорю о целочисленных линейных программах; таким образом, дуал является стандартным дуалом ILP, для которого имеет место слабая двойственность. Трудность заключается в том, что достаточные условия для целостности (первичных) решений ЛП (таких как TUM / сбалансированные и т. Д.), По-видимому, проходят через кажущуюся более сильной концепцию целостности решений первичного и его двойственного ЛП. Это заставило меня задуматься, подразумевает ли интегральность первичного решения интегральность двойственного решения, по крайней мере, для интегральных коэффициентов. PS: Я мог бы просто дойти до Siebel, и мы могли бы поговорить там! Я был в вашем классе несколько лет назад!

— Анкур

Этот конкретный вопрос ближе к тегам, которые у него есть в настоящее время.

— Суреш Венкат

Вот пример, который может быть близок к контрпримеру к иску.

Рассмотрим LP и его двойственное дляматрицы $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$ $P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$ $12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

Оптимальное решение дается выражением (все остальные переменные равны нулю) со значением целевой функции . Оптимальное решение задается вектором . Если вы решите как целочисленную программу, оптимальное значение целевой функции будет только , а $P'$ $y_1=y_2=y_{12}=1$ $3$ $P$ $x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$ $P$ $2$ является оптимальным решением. $x = [1~0~0~1~0~0]$

$P'$ $P$

— kbala
источник

Благодарность! Это работает! Как вы пришли к этому примеру? Есть ли класс проблем, из которых он взят?

— Анкур

Матрица является модификацией граничной матрицы полосы Мёбиуса, приведенной в нашей статье об оптимальных гомологических циклах. Недавно я играл с такими граничными матрицами, и поэтому несколько естественным образом начал с этой матрицы, чтобы создать пример, который я привел.

— Кбала