Понимание механизма проектирования Доказательство

Я боролся с техническими деталями доказательства теории аукциона в этой статье: http://users.eecs.northwestern.edu/~hartline/omd.pdf

В частности, теорема 2.5: необходимые и достаточные условия для правдивого механизма.

Более конкретно, прямое направление доказательства, приведенное на странице 6. Определяя истинное значение как , а общее, возможно, ложное, значение (например, ставку) как , автор продолжает постулировать две дополнительные величины, и .$v_i$$b_i$$z_1$$z_2$

Затем он устанавливает, что , , что приводит к неравенству, основанному на предыдущей работе статьи. $v_i = z_1$$b_i = z_2$

Он также оговаривает, что , , что приводит к аналогичному, но другому неравенству, основанному на предыдущей работе статьи. $v_i = z_2$$b_i = z_1$

Хорошо, достаточно справедливо. Затем он вычитает одно неравенство из другого и переходит к получению желаемого результата на основе последующей алгебры. Я не понимаю, почему это вычитание оправдано - он, кажется, вычитает два неравенства, основанных на совершенно разных (на самом деле, противоположных) предположениях, и каждый раз, когда я вижу это, меня сильно выбрасывает из цепочки мыслей.

Я почти уверен, что видел этот базовый подход еще (книга Шохама и Лейтона-Брауна? У меня нет его под рукой, чтобы проверить), так что, похоже, это общая идея, но я не могу от нее отказаться. Может ли кто-нибудь помочь мне понять, почему это так, или объяснить, что мне не хватает?

(Я пытался доказать желаемый результат, предполагая три значения - истинное значение и две ставки, и - чтобы получить желаемый результат, но также не удалось. Таким образом, он может быть не только общим, но необходимым для делай это по-автору. Но я до сих пор этого не понимаю.)$v_i$$b_1$$b_2$

Обновление: я знал, что видел нечто подобное в книге Шохама и Лейтона-Брауна . Это не совсем то же самое, но это очень похоже и имеет дело с тем же уравнением и предметом. Это случай 1 теоремы 10.4.3.

Исходя из контекста правдивых механизмов, они сначала принимают правдивые и ложные и получают, что платеж на основе меньше или равен платежу на основе , например, . Затем они принимают противоположное, правдивое и ложное , и получают противоположный результат, что платеж на основе меньше, чем платеж на основе , например, , Хорошо, это имеет смысл. $v_i$$v_i'$$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$v_i'$$v_i$$v_i'$$v_i$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Затем они считают, что платежи, основанные на и должны быть равными, как если бы они говорили, что и одновременно истинны, даже хотя они являются результатом не просто разных, а противоположных предположений.$v_i$$v_i'$$P_i(v_i) \leq P_i(v_i')$$P_i(v_i') \leq P_i(v_i)$

Ответ заключается в том, что механизм должен быть правдивым для каждого набора возможных типов: механизм не знает, какие из них являются истинными типами раньше времени. Таким образом, для пары типов и механизм должен быть правдивым, если истинным типом агента является : т.е. его полезность должна быть больше, если он предлагает чем если он предлагает . Но механизм также должен быть правдивым, если истинный тип агента ! В конце концов, что касается механизма, это может быть! Таким образом, в этом случае полезность агента должна быть выше, если он предлагает по сравнению с .$v_i$$v_i'$$v_i$$v_i$$v_i'$$v_i'$$v_i'$$v_i$

Дело в том, что правдивость налагает много разных неравенств на один и тот же механизм одновременно: по одному на каждый тип, который может иметь агент, и на каждое отклонение, которое он может рассмотреть. Все они держатся. Это доказательство использует только два из этих неравенств

Я думаю, что вы хотите следующее предложение.

Предложение. Позволять$V$ а также $A$быть наборы. Позволять$f:V^n\to A$ а также $p_1,\dots,p_n:V^n\to\mathbb{R}$, Предположим, что для всех$i,x_i,y_i,v_{−i}$ у нас есть

$$x_i (f(x_i , v_{−i})) − p_i (x_i , v_{−i}) \geq x_i (f(y_i , v_{−i})) − p_i (y_i , v_{−i}).$$ Тогда для всех $i,v_i,v'_i,v_{-i}$ у нас есть $$v_i(f(v_i,v_{-i}))-v_i(f(v'_i,v_{-i}))\geq v'_i(f(v_i,v_{-i}))-v'_i(f(v'_i,v_{-i})).$$

Доказательство. Ввод$x_i=v_i$ а также $y_i=v'_i$ у нас есть

$$v_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}) \geq v_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}).$$ Ввод $x_i=v_i$ а также $y_i=v'_i$ у нас есть $$v'_i (f(v'_i , v_{−i})) − p_i (v'_i , v_{−i}) \geq v'_i (f(v_i , v_{−i})) − p_i (v_i , v_{−i}).$$ Результат следует, добавляя эти неравенства и переставляя.

Интерпретация механизма проектирования этого предложения состоит в том, что каждый совместимый с стимулом (то есть доказательством стратегии, т.е. правдивым) механизм обладает «слабой монотонностью».

По какой-то причине принято спорить, ссылаясь на истинные предложения и ложь. В этом контексте «истина» и «ложь» являются просто именами переменных, такими как «х» и «у». Можно использовать одно и то же имя для ссылки на разные вещи в отдельных аргументах, потому что между истинной заявкой и ложью нет формальной разницы.