Могут ли многопользовательские автоматы определять все детерминированные контекстно-зависимые языки?

MPA (многопробельный автомат) - это 2DFA (двусторонний детерминированный конечный автомат), который может использовать произвольное количество камешков (на самом деле самое большее камешков на заданном входе - вход записывается на ленту между двумя концами -маркер как ). Во время вычисления MPA может обнаружить, есть ли у символа под головой камешек, и затем он может положить камешек (убрать камешек), если нет камешка (камешек).w # w $|w|+2$$w$$\# w \#$

σ k > $h_k(\sigma) = \underbrace{\sigma \cdots \sigma}_{k \mbox{ times}} = \sigma^k$ - гомоморфизм, где - символ, а .$\sigma$$k>0$

Для любого детерминированного контекстно-зависимого языка нетрудно показать, что существует такой, что может быть распознан MPA. Итак, в общих чертах, мы можем сказать, чтоk > 0 h k ( L$\mathtt{L} ~~ \left( \mathtt{L} \in \mathsf{DSPACE(n)} \right),$$k>0~$$h_k( \mathtt{L} )$

любая «проблема», разрешимая с помощью линейно-пространственного DTM (детерминированной машины Тьюринга), может быть разрешена с помощью MPA.

Это также верно для любого языка в ? Могут ли МОР решить все детерминированные контекстно-зависимые языки?$\mathsf{DSPACE(n)}$

$|w|$это длина .$w$

i t h w 1 ≤ i ≤ | ш $w_i$ - это символ , где,$i^{th}$$w$$1 \leq i \leq |w|$

$h_k(\mathtt{L}) = \left\lbrace h_k(w_1) h_k(w_2) \cdots h_k(w_{|w|}) \mid w \in \mathtt{L} \right\rbrace$ .

Возможно, вы можете построить язык в DPSACE (n), который не может быть распознан MPA с используя аргумент диагонализации (возможно, идея похожа на ту, что была в ответе Бена, но я не стал в нее разбираться):$k=1$

Предположим, что по алфавиту вы кодируете MPA, используя список переходов:$\Sigma = \{0,1\}$

$s,a,p \rightarrow s',p',L|R;...\#$

где - текущее состояние, - текущий символ, - состояние гальки, - новое состояние, - новое состояние гальки, - направление движения, - маркер конца).a p s ′ p ′ L | R $s$$a$$p$$s'$$p'$$L|R$$\#$

Машина Тьюринга на входе может проверить, является ли она действительным описанием и смоделировать его на входе течение шагов, используя ячейки, растягивая входные данные таким образом:х М Р х х 4 | х | 6 | х | + журнал | х $M$$x$$MPA_x$$x$$4^{|x|}$$6|x|+\log|x|$

 MPA description # MPA tape # curr_state # counter #

Где:

• Описание MPA - исходная строка ввода (имеет длину );| х $x$$|x|$
• Лента MPA - это представление ленты MPA: для каждой ячейки мы можем использовать 3 бита для хранения флага заголовка, флага pebble и (фиксированного) содержимого ленты (имеет длину );$3|x|$
• curr_state хранит текущее состояние MPA (имеет длину );$\log |x|$
• counter - это счетчик шагов моделирования, который обновляется после каждого шага моделирования (имеет длину ).$2|x|$

Если останавливается за шага, то TM выдает противоположное (если не останавливает выдает 0).$MPA_x$$4^{|x|}$$M$$M$

При достаточно больших , то этапы моделирования больше , чемкоторая превышает длину полного описания конфигурации ; таким образом, если не останавливается за шага, то мы уверены, что он будет зацикливаться вечно.$x > x_0$$4^{|x|}$$2^{|x|+2} |x| \log |x|$$MPA_x$$MPA_x$$4^{|x|}$

Предположим, что существует который определяет тот же язык из , затем он всегда останавливается, и вы можете создать «больший» который решает тот же язык, с (просто добавьте dum состояния).$MPA_y$$L$$M$$MPA_{y'}$$y'>x_0$

По построению имеем что является противоречием.$MPA_{y'}(y') = 1 - M(y') = 1 - MPA_{y'}(y')$

Контрпример: проблема остановки для MPA разрешима в линейном пространстве: если MPA имеет N состояний, нам нужно | k | +2 бита пространства для хранения местоположений гальки, log N битов для хранения текущего состояния и бит для хранения счетчика; если счетчик циклически повторяется, имитируемая машина никогда не остановится. Это линейно по | k | (игнорируя пространство O (N \ log N), необходимое для описания машины), по мере необходимости.$\log(N(|k|+2))+|k|+2$

Поскольку этот язык разрешим в линейном пространстве, он также может быть выражен как DCSL.