Уточнения парного приближения для сетевого анализа

При рассмотрении взаимодействий в сетях обычно очень трудно рассчитать динамический анализ , и используются приближения. Аппроксимации среднего поля обычно заканчиваются полным игнорированием структуры сети, и поэтому редко являются хорошим приближением. Популярным приближением является парное приближение, которое рассматривает корреляции, присущие соседним узлам (интуитивно мы можем думать о нем как о типе приближения среднего поля на ребрах).

Аппроксимация является точной, если мы рассматриваем графы Кэли, и очень хороша, если мы рассматриваем -регулярные случайные графы. На практике это также обеспечивает хорошие приближения для случаев, когда у нас есть случайный граф со средней степенью k и узким распределением степени вокруг k . К сожалению, многие сети и взаимодействия, которые представляют интерес, не очень хорошо смоделированы такими графами. Они обычно хорошо моделируются графиками с очень разными распределениями степеней (например, безмасштабными сетями), с определенными (и высокими) коэффициентами кластеризации или определенным средним расстоянием по кратчайшему пути (подробнее см. Albert & Barabasi 2001 ) ,$k$$k$$k$

Есть ли уточнения парной аппроксимации, которые хорошо работают для этих типов сетей? Или есть другие аналитические приближения?

Пример взаимодействия в сети

Я подумал, что приведу пример того, что я имею в виду под взаимодействием в сети. Я приведу сравнительно общий пример из теории эволюционных игр.

Вы можете думать о каждом узле как об агенте (обычно представленном только стратегией), который играет в фиксированную игру попарно с каждым другим агентом, которому он дает преимущество. Таким образом, данная сеть с некоторым назначением стратегии каждому узлу производит выплату для каждого узла. Затем мы используем эти выплаты и структуру сети для определения распределения стратегий между узлами для следующей итерации (общий пример может быть для каждого агента, чтобы скопировать соседа с самой высокой выплатой, или некоторый вероятностный вариант этого). Вопросы, которые нас обычно интересуют, соответствуют тому, чтобы знать количество агентов каждой стратегии и как это меняется со временем. Часто у нас есть стабильное распределение (которое мы затем хотим узнать или приблизительное), иногда предельные циклы или даже более экзотические звери.

Если мы применяем приближение среднего поля в такой модели, мы используем уравнение репликации в качестве нашей динамики, которая явно игнорирует структуру сети и является точной только для полных графиков. Если мы используем парное приближение (например, Ohtsuki & Nowak 2006 ), мы получим немного другую динамику (на самом деле это будет динамика репликатора с модифицированной матрицей выплат, где модификация зависит от степени графика и специфики шага обновления) который хорошо подходит для моделирования случайных графов, но не для других сетей, представляющих интерес.

Для примера, более похожего на физику: замените агентов спинами и назовите матрицу выплат гамильтонианом взаимодействия, затем охладите вашу систему, выполняя периодические случайные измерения.

Примечания и связанные вопросы

• Прямые обобщения парной аппроксимации, которые рассматривают тип аппроксимации среднего поля на тройках (или четверках узлов), громоздки и по-прежнему не учитывают очень разные распределения степеней или среднее расстояние по кратчайшему пути.

• Источники для алгоритмической эволюционной теории игр

В общем, вас могут заинтересовать спектральные методы в теории графов, так как они являются мощным инструментом. Вы можете проанализировать собственные значения матрицы смежности графа (или матрицы Лапласа графа ).

Такие методы учитывают не только локальные свойства графа (например, распределение степеней), но и глобальные (например, связность, наличие или отсутствие ярлыков). В частности, спектр напрямую связан с количеством пар, треугольников и кратчайшим путем (см. Вторую ссылку).

В качестве ссылки (я только пролистал их, но они выглядят полезными):

• S. Boccaletti et al. (Phys Rep 2006), Сложные сети: структура и динамика (или здесь )
• K.-I. Goh et at. (PRE 2001), Спектры и собственные векторы безмасштабных сетей, arXiv: cond-mat / 0103337

То, как вы формулируете свой вопрос, звучит так, как будто вы заботитесь о динамике, но, поскольку то, что вы ищете, похоже, является устойчивым решением, базовые состояния кажутся гораздо более продуктивным путем для спуска.

$\frac{1}{2}(|00\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|).$

Кроме того, я не уверен, что это именно то, что вы ищете, или нет, но есть некоторые недавние результаты по реализации безмасштабных сетей, показывающие, что они демонстрируют два фазовых перехода, которые, кажется, только что были приняты PRL. Препринт, озаглавленный «Все безмасштабные сети редки», можно найти как arXiv: 1106: 5150 .

Вы можете захотеть взглянуть на две вещи:

Алгоритмическая теория игр Ch. 7: Графические игры

Колебания в эволюционных играх

Первый рассказывает, как найти равновесие в играх или спиновых системах, как вы описали. Определенные метастратегии для принятия стратегии (в частности, та, которая идентична выборке Гиббса, которая приводит к коррелированным равновесиям), позволяют проводить очень общий анализ.

Вторая попытка предсказать большие флуктуации или изменение «норм» в эволюционной модели теории игр с использованием теории больших уклонений. Рассмотренные примеры являются небольшими, но автор пытается сделать математический механизм, который он использует, как можно более общим и мощным, чтобы он мог быть применим к вашему случаю.