Варианты прямых теорем о произведениях

Теорема о прямом произведении, неофициально, говорит, что вычисление экземпляров функции f сложнее, чем вычисление f один раз.$k$$f$$f$

Типичные теоремы о прямом произведении (например, лемма Яо XOR) рассматривают сложность среднего случая и утверждают (очень грубо), что не может быть вычислено схемами размера s с вероятностью лучше p , тогда k копий f не может быть вычислено схемы размером s ′ < s с вероятностью лучше, чем p k .$f$$s$$p$$k$$f$$s' < s$$p^k$

Я ищу различные типы теорем о прямом произведении (если они известны). В частности:

(1) Скажем, мы фиксируем вероятность ошибки и вместо этого интересуемся размером схемы, необходимой для вычисления k копий f ? Есть ли результат, который говорит, что, если f не может быть вычислено схемами размера s с вероятностью лучше, чем p , то k копий f не может быть вычислено с вероятностью лучше, чем p, используя схему размером меньше O ( k ⋅ s ) ?$p$$k$$f$$f$$s$$p$$k$$f$$p$$O(k \cdot s)$

(2) Что известно в отношении сложности наихудшего случая ? Например, если не может быть вычислено (с ошибкой 0) схемами размера s , что мы можем сказать о сложности вычисления k копий f (с ошибкой 0)?$f$$s$$k$$f$

Любые ссылки будут оценены.

$f$$0.99 * p$$s$$0.01 * p$$s$$f$$k$$f$$s$$s$

$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^n$$n \times n$$f$$n^2$$n$$n^3$используя алгоритм умножения матриц. Вы можете найти подробное обсуждение этой темы в книге Инго Вегенера «Сложность булевых функций» - см. Главу 10.2 здесь: http://eccc.hpi-web.de/static/books/The_Complexity_of_Boolean_Functions/ .

Просто чтобы дополнить ответ Ора, были изучены вопросы вида (1) [сколько ресурсов требуется, чтобы преуспеть в k копиях], и соответствующие теоремы называются «теоремами прямой суммы». Как и в случае теорем о прямом произведении, теоремы о прямой сумме могут выполняться или не выполняться в зависимости от установки.