Параметризованная сложность подсчета бикликов

В предыдущем вопросе « Параметризованный алгоритм поиска бикликов» я поинтересовался, существуют ли быстрые параметризованные алгоритмы для нахождения -биклика в графе вершин, и узнал, что он открыт, если он равен FPT относительно . То же самое верно и для подсчета в -bicliques, или известно , что это # -Жесткий WRT (или какой -либо другой понятие твердости)?$k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

Я знаю, что подсчет индуцированных -биклик является жестким # , расширяя простое сокращение для нахождения индуцированного biclique в разделе 4.5 в диссертации Сержа Гасперса .$k\times k$$W\[1\]$

Это должно быть #W [1] -hard по стандартному аргументу интерполяции. Вот примерный набросок.

Сначала рассмотрим многоцветную версию задачи о биклике: для данного графа, набор вершин которого разбит на классы , найдите биклик, содержащий ровно одну вершину из каждого набора. В отличие от Biclique, чей статус FPT открыт, эта многоцветная версия известна как W [1] -hard: есть легкое сокращение от клика. Я считаю, что это также должно быть #W [1] -hard.$X_1,\dots, X_{2k}$

Для данного графа и разбиения, как указано выше, давайте получим новый граф , заменив каждую вершину независимым набором размера (и заменив каждое ребро между и на biclique). Теперь число биклик в является функцией от переменных . На самом деле, можно видеть, что эта функция является полиномом степени не более а коэффициент члена точно равен количеству разноцветных биклик в$G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$$x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$ . Таким образом, подставляя достаточно много комбинаций значений в переменные и подсчитывая количество биклик в , мы можем оценить этот многочлен в достаточном количестве мест, чтобы восстановить его коэффициенты путем интерполяции.$x_i$$G'$