Параметризованный алгоритм поиска бикликов

16

Для заданного ненаправленного графа из вершин, какова наилучшая известная оценка времени выполнения для нахождения подграфа, который является -бикликом? Существуют ли более быстрые параметризованные алгоритмы, чем алгоритм времени для "угадывания" одной стороны биклика и проверки, есть ли хотя бы других вершин, инцидентных всем им? $n$ $k\times k$ $\binom{n}{k}\mbox{poly}(n)$ $k$

— Андреас Бьёрклунд
источник

8

Параметризованный вырождением или краткостью, это FPT. Более конкретно, где - вырождение (или для краткости). Видеть: $O(d^3 2^d n)$ $d$ $a^3 2^{2a}$

Алгоритмы составления списков двусмысленности и двудольного подграфа. Д. Эппштейн. Inf. Proc. Lett. 51: 207-211, 1994 .

Еще одна параметризованная статья была только что принята к SWAT 2012 , на этот раз параметризованная самой длинной индуцированной длиной пути:

Aistis Atminas, Вадим Лозин и Игорь Разгон: Алгоритм линейного времени для вычисления небольшого biclique в графах без длинных индуцированных путей. SWAT 2012, чтобы появиться.

Но я понимаю, что независимо от того, является ли это FPT или нет с естественным параметром (размером biclique), это большая открытая проблема.

— Дэвид Эппштейн
источник

Спасибо, Дэвид. Обратите внимание, что я не просто задаюсь вопросом, является ли это FPT в сравнении с K, а скорее, есть ли что- нибудь лучше, чем наивный алгоритм, который я набросал. В частности, найти видимо проще, чем считать.

— Андреас Бьёрклунд

5

Следующие статьи предоставляют алгоритмы экспоненциального времени для неиндуцированной бикликовой задачи и могут быть вам интересны:

Даниэль Бинкле-Рейбл, Хеннинг Фернэу, Серж Гасперс, Матье Лидлофф: Точные экспоненциально-временные алгоритмы поиска бикликов . Inf. Процесс. Lett. 111 (2): 64-67 (2010)
Жан-Франсуа Кутюрье, Дитер Крач: Двухцветные независимые наборы
и биклики . Inf. Процесс. Lett. 112 (8-9): 329-334 (2012)

— Limath
источник

4

В этом приближении Б. Эймса и С. Вавасиса «Минимизация ядерной нормы для посаженных задач клики и биклика» ( http://arxiv.org/pdf/0901.3348.pdf ) обнаруживается биклик для некоторого конкретного типа графов в поли- время, но не имеет общих гарантий приближения.

Авторы преобразовывают проблему biclique в минимизацию ранга с учетом аффинных ограничений. Затем они решают проблему релаксации, используя эвристику ядерной нормы, которую можно представить как SDP. Эта эвристика - довольно захватывающий гаджет из сжатой чувствительной атрибутики. Эта релаксация обычно допускает некоторые милые условия оптимальности, когда набор ограничений демонстрирует «соответствующий тип» случайности.

— Димитрис
источник

-1

Стоит отметить, что найти ak по k biclique в графе n-вершин так же трудно, как найти клику размера k в (n / 2) -вершинном графе: просто возьмите (n / 2) вершинный граф, и преобразовать его в двудольный граф очевидным образом (каждая вершина v превращается в две вершины v1, v2, которые соединены ребром, а каждое ребро (u, v) превращается в два ребра: (u1, v2) и (u2 , v1)). Поскольку нахождение клики размера k является W [1] -твердым, то нахождение biclique также является W [1] -твердым, и поэтому предполагается, что алгоритм не имеет времени выполнения $n^{o(k)}$ ,

— Elad
источник

6

Я не думаю, что это сокращение работает. Если в вашем исходном графе уже был большой биклик, то у графа, который вы формируете из него (его двудольное двойное покрытие), все равно будет такой же биклик, маскирующий, есть ли в исходном графе клика.

— Дэвид Эппштейн