Что известно о решениях разреженных задач целочисленного линейного программирования?

Если у меня есть набор линейных ограничений, в которых каждое ограничение имеет не более (скажем) 4 переменных (все неотрицательные и с коэффициентами {0,1}, за исключением одной переменной, которая может иметь коэффициент -1), что известно о решении Космос? Меня меньше беспокоит эффективное решение (хотя, пожалуйста, укажите, если оно известно), чем знание того, насколько мал может быть минимум целевой функции в зависимости от количества переменных и количества ограничений, а также количества переменных в ограничение.

Конкретнее, программа это что-то вроде

свести
  к минимуму t
для всех i, x_i является положительным целым числом
x1 + x2 + x3 - t <0
x1 + x4 + x5 - t <0
...
x3 + x6 - t ≥ 0
x1 + x2 + x7 - t ≥ 0
...

Если нужен конкретный вопрос, то является ли это случаем, что минимальное решение подчиняется t <= O (max {число переменных, # ограничений}), причем константа в O () зависит от разреженности? Но даже если ответ «нет», мне больше интересно узнать, какой учебник или статью следует изучить для обсуждения таких вопросов, и есть ли область исследований, посвященная этим вещам, но я просто не знаю условия для поиска. Спасибо.

Обновление: с дальнейшим размышлением (и продумывая довольно простое сокращение 3SAT до ILP, которое использует ограничения с тремя переменными), я понимаю, что проблема коэффициентов является критической (если будет эффективный алгоритм). Точнее, все переменные x_i имеют коэффициенты 0 или 1 (не более трех коэффициентов 1 в одном ограничении), а все переменные t имеют коэффициенты -1, а все сравнения имеют переменные слева и 0 справа. Я обновил приведенный выше пример, чтобы уточнить.

Ответ на этот вопрос (по крайней мере, на конкретный вопрос о линейном ограничении решения) - нет. Это часть следующего документа: http://arxiv.org/abs/1011.3493 . Теорема 5.1 была мотивом для этого вопроса.

Контрпример таков:

базовый вариант:

a_1 '+ b_1' - t ≥ 0
a_1 '' + b_1 '' - t ≥ 0
a_1 + b_1 '- t ≤ -1
a_1 '+ b_1' '- t ≤ -1

рекурсивный случай:

a_n '+ b_n' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n '' + b_n '' + a_ {n-1} - t ≥ 0
a_n + b_n '+ a_ {n-1}' '- t ≤ -1
a_n '+ b_n' + a_ {n-1} '' - t ≤ -1

наряду с требованием, чтобы они все были неотрицательны.

Вы можете по индукции доказать, что любое реальное решение должно удовлетворять a_n ''> = a_n + 2 ^ n. Мы изменяем "<0" -равенства на "≤ -1", потому что любое целочисленное решение удовлетворяет "≤ -1" тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет "<0".

Таким образом, мораль состоит в том, что n неравенств этой формы могут обладать тем свойством, что все целочисленные решения имеют по крайней мере одно целое число, по крайней мере, экспоненциальное по n, и, конечно, не являются линейно ограниченными, как мы изначально подозревали.

Если матрица коэффициентов полностью унимодулярна , то эффективное решение существует посредством обычного линейного программирования. Это справедливо для любого ILP, а не только для разреженного - хотя вы с большей вероятностью сможете использовать это свойство для разреженного ILP, такого как ваш.

Я подозреваю, что вы уже знаете это, поэтому позвольте мне попытаться дать вам лучший ответ. Прежде чем думать о специфике слишком глубоко, ответьте на ваш конкретный вопрос «да», существует определенная граница. Пересечение n неравенств по m переменным определяет многогранник. Поскольку коэффициенты так хороши, мы можем определить верхнюю границу размерности координат его вершин с небольшой арифметикой. Это дает вам очень легкую верхнюю границу для измерения любой целочисленной точки в многограннике и, таким образом, для решения вашей целочисленной программы. Вы уже пробовали это?

В частности, ваша проблема имеет довольно небольшую структуру (мне любопытно, откуда она?), Поэтому я уверен, что мы можем быть гораздо более точными, чем это, если мы обсудим ее дальше.

Теперь для более общего вопроса о поиске информации по этой теме. Это та проблема, которая традиционно входит в теорию линейного и целочисленного программирования, подмножество математического программирования.

Это довольно активная область исследований, но большая часть работы проводится в отделах исследования операций под заголовками «оптимизация» и «математическое программирование» вместо компьютерных наук. Есть много учебников по этой теме. Вы могли бы рассмотреть тот из Wolsey , который мы используем в Беркли. Вот недоиспользуемый список мифов и контрпримеров Гринберга, включая целочисленное и линейное программирование, которые могут дать вам представление о том, что люди рассматривают при анализе таких проблем. Уолси - дремучий, но достаточно хороший старт для начала - существует множество методов для анализа ILP и улучшения формулировок проблем до точки эффективности.

Позвольте мне добавить, что если вы будете придерживаться наивного подхода, который я предлагаю, анализируя геометрию многогранника, то условия для поиска будут касаться ограничения размера координат вершин многогранника. Эти термины чаще встречаются в математической литературе о многогранниках.

Вы можете найти этот интересный аккаунт:

http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedral_combinatorics

и, в частности, статья Г. Циглера:

Лекции по 0-1 многограннику

в:

Калай, Гил; Циглер, Гюнтер М. (2000), Многогранники: комбинаторика и вычисления, семинар DMV, 29, Биркхойзер, ISBN 9783764363512.