Treewidth и проблема NL против L

ST-связность - это проблема определения, существует ли направленный путь между двумя выделенными вершинами и в ориентированном графе . Может ли эта проблема быть решена в пространстве журналов, является давней открытой проблемой. Это называется проблемой против$s$$t$$G(V,E)$$NL$$L$

В чем сложность ST-связности, когда базовый неориентированный граф имеет ограниченную ширину дерева.$G$

Известно ли, что это NL-hard? Есть верхняя граница известна?$o({\log}^2n)$

Похоже, проблема в L в [EJT10] и, таким образом, L-полная в сводимость в [CM87]. Смотрите страницу 2 [EJT10]:$\text{NC}^1$

Применение теоремы I.3 к формуле выражающей, что - простой путь от до показывает, что задача лежит в L$\phi(X)$$X$$s$$t$$\{(G,s,t) \text{ } | \text{ tw$(G) \leq k$, there is a path from $s$ to $t$ in $G$}\}$

На самом деле этот результат применим ко всем задачам на ограниченных графах ширины деревьев, которые можно сформулировать в монадической логике второго порядка в L.

[EJT10] Майкл Элберфельд, Андреас Якоби и Тилль Тантау. Варианты логических пространств теорем Bodlaender и Courcelle. В материалах 51-го ежегодного симпозиума по основам информатики (FOCS), стр. 143–152, 2010.

[CM87] Стивен А. Кук, Пьер МакКензи: Задачи, полные для детерминированного логарифмического пространства. J. Алгоритмы 8 (3): 385-394 (1987)