Сжатые проблемы в

Исследование сжатого представления графов было начато Гальперином и Вигдерсоном в статье 1983 года, где они доказывают, что для многих простых задач, таких как нахождение треугольника на графе, соответствующая краткая версия в $\mathsf{NP}$ -полна. Papadimitriou и Yanakkakis дальнейшее это направление исследований, и доказать , что для задачи $\Pi$ , которая является $\mathsf{NP}$ -полным / $\mathsf{P}$ -полной, соответствующей Succinct версии, а именно Succinct $\Pi$ равно соответственно, -полными и -полный. (Они также показывают, что если равен$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$-полный, то сжатый является P S P A C E -полным.$\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

Теперь мой вопрос, существуют ли какие - либо проблемы , известно , для которых, соответствующая Succinct версия находится в P ? Мне было бы интересно узнать о любых других связанных результатах (как положительных, так и невозможных, если таковые имеются), которые я мог бы пропустить выше. (Я не смог найти ничего интересного с помощью поиска в Google, так как поисковые слова, такие как краткое, представление, проблемы, графики, приводят практически к любому сложному результату! :))$\Pi$$\mathsf{P}$

Вот интересная проблема, краткая версия которой имеет интересные свойства. Определите Circuit-Size- чтобы быть проблемой: учитывая булеву функцию как строку 2 n- бита, имеет ли эта функция схему размера не более 2 n / 2 ? Обратите внимание , эта проблема в N P .$2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

Один из способов определения Succinct-Circuit-Size- был бы: для константы k , учитывая n- входную, n k -размерную схему C , мы хотим знать, является ли ее таблица истинности экземпляром Circuit-Size - 2 н / 2 . Но это тривиальная проблема: все входы, которые являются реальными цепями, являются экземплярами типа «да». Поэтому эта проблема в P .$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$

Более общий способ определения Succinct-Circuit-Size- будет следующим: нам дан произвольный контур C и мы хотим знать, кодирует ли его таблица истинности экземпляр Circuit-Size- 2 n / 2 . Но если n - это количество входов в C , m - это размер C , а m ≤ 2 n / 2 , мы можем автоматически принять: сам вход является свидетельством языка. В противном случае имеем m ≥ 2 n / 2 . В этом случае длина ввода $2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$$m$уже огромен, поэтому мы можем попробовать все возможные назначений за время m O ( 1 ) , получить таблицу истинности функции, и теперь мы снова возвращаемся к исходной проблеме N P. Так что это проблема в N P , чьи сжатой версия также в N P .$2^n$$m^{O(1)}$$NP$$NP$$NP$

Эта проблема , как полагают, не -Жесткий; см. статью Кабанец и Цай (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)$NP$

Учитывая, что даже решение о том, содержит ли граф, представленный данным кратким представлением, хотя бы одно ребро или нет, эквивалентно Circuit SAT и, следовательно, является NP-полным, заманчиво утверждать, что любое интересное свойство краткого представления должно быть NP-трудным в подходящее определение «интересного». Это утверждение было бы теоретико-сложным аналогом для теоремы Райс . Увы, поиск наиболее общего теоретико-сложного аналога теоремы Райса - открытая проблема , хотя есть результаты, которые дают некоторые формы таких теоретико-аналогичных аналогов.

Я не хотел, чтобы это был ответ, но это потребовало бы слишком много комментариев. Надеюсь, это полезно.

Как указывает Цуёси, заманчиво предположить, что все «нетривиальные» свойства являются жесткими (например, NP-hard). Однако, чтобы показать это, вам нужно определить нетривиально. В теореме Райса нетривиальными свойствами являются все свойства, кроме свойства, которое включает в себя все вычислимо перечислимые языки, и свойства, которое не включает в себя вычислимо перечислимый язык. Менее понятно, какое правильное определение нетривиальных для кратких задач. Определенно свойства, которые содержат все строки или не содержат строк, находятся в P. Но в P есть и другие. Например, свойство , совпадающее со строками, средний бит которых равен 0. Или Π содержит все строки из 2 n битов, так что каждые 2 n /$\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$-ый бит равен 1, где . Так как же определить «тривиальный», чтобы охватить этот тип свойств?$x = n^{O(1)}$

Одна идея состоит в том, чтобы взглянуть на те которые «симметричны»: если строка s находится в Π , то любая перестановка битов s также находится в Π . Такие свойства зависят только от количества 1 бит в строке. В ответе на вопрос, связанный с Цуёси, Райан Уильямс дает ссылку на этот документ, который показывает, что все такие проблемы очень сложны.$\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$

Другие идеи, как определить «нетривиальное свойство»? Мы можем рассматривать как семейство булевых функций (индикаторные функции свойства для каждой длины строки). Мне кажется, что нетривиальные свойства - это те, для которых соответствующее семейство булевых функций имеет нетривиальную сложность. Например, можем ли мы показать, что свойства, чье семейство связанных булевых функций имеет линейную сложность дерева решений, являются сложными?$\Pi$