Вопрос к # P-полному доказательству перманента от Ben-Dor / Halevi

В статье Бен-Дор / Галеви [1] приводится еще одно доказательство того, что перманент является -завершенным. В более поздней части статьи они показывают цепочку сокращений то время как постоянное значение сохраняется вдоль цепи. Так как число постоянных назначений формулы 3SAT может быть получено из постоянного значения, достаточно вычислить постоянный из конечной -матрицы. Все идет нормально.$\#P$

$$\begin{equation} \text{IntPerm} \propto \text{NoNegPerm} \propto \text{2PowersPerm} \propto \text{0/1-Perm} \end{equation}$$ $\Phi$$0/1$

Однако хорошо известно, что перманент -матрицы равен числу совершенных совпадений в двудольном двойном покрытии , т. из матрицы . И это число может быть эффективно вычислено, если G оказывается плоским (используя алгоритм Кастеленса).G ( 0 т 0$0/1$$\text{A}$$G$$\begin{pmatrix} 0 & \text{A} \\ \text{A}^t & 0 \end{pmatrix}$$G$

Таким образом, в сумме это означает, что кто-то может вычислить число сатирических назначений булевой формулы $\Phi$ если конечный граф $G$ плоский.

Поскольку вложение $G$ сильно зависит от формулы $\Phi$ , есть надежда, что существуют определенные формулы, которые чаще всего приводят к плоским двудольным покрытиям. Кто-нибудь знает, было ли когда-либо исследовано, насколько велики шансы того, что $G$ будет плоской?

Поскольку подсчет удовлетворяющих решений является $\#P$ -завершенным, графики наверняка почти всегда будут неплоскими, но я не могу найти никаких подсказок по этой теме.

[1] Амир Бен-Дор и Шай Халеви. Нулевой перманент # p-полон, более простое доказательство. Во 2-м Израильском симпозиуме по теории вычислительных систем, стр. 108-117, 1993. Натанья, Израиль.

Эта тема была тщательно исследована в последние годы под названием Голографические алгоритмы такими исследователями, как Валиант, Цай, Лу, Ся, Липтон и другие. По сути, все возможные случаи #CSP (подсчета проблем удовлетворения ограничений) были определены в терминах теорем дихотомии (FP vs. # P-complete). В частности, вычисления Matchgate были идентифицированы как особый класс задач подсчета, которые можно отслеживать на планарных графах. Смотрите, например, эту ссылку для дальнейших ссылок.

$\Gamma$$\Gamma$$\Phi$

$\Gamma$$\Phi$$\Gamma$

$\Gamma$$\Phi$$\Phi$

$G$$\Phi$$G$