Вычисление обратной матрицы при изменении элемента

18

Дана матрица . Пусть обратная матрица будет (то есть ). Предположим, что один элемент в изменен (скажем, до ). Цель состоит в том, чтобы найти после этого изменения. Есть ли способ найти эту цель, который более эффективен, чем пересчет обратной матрицы с нуля. $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

algorithms numerical-analysis online-algorithms

— AJed
источник

Отличные ответы: я нашел следующую статью, которая решает эту проблему: Sankowski, Piotr. «Динамическое транзитивное замыкание с помощью динамической обратной матрицы». Основы информатики, 2004. Труды. 45-й ежегодный симпозиум IEEE. IEEE, 2004.

— AJed

Если статья отвечает или решает вашу проблему каким-либо образом, то можно добавить ответ! :) В конце концов, комментарии могут быть удалены в любое время.

— Юхо

12

Формула Шермана-Моррисона может помочь:

(A + U v^{T})^{- 1} знак равно A^{- 1} - \frac{A^{- 1} U v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} U},

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

Пусть и , где - стандартный базисный вектор-столбец. Вы можете проверить, что если обновленной матрицей является то $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} знак равно A^{- 1} - \frac{(a_{я J}^{'} - a_{я J}) A_{я \to}^{- 1} A_{↓ J}^{- 1 T}}{1 + (a_{я J}^{'} - a_{я J}) A_{я J}^{- 1}},

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— Юваль Фильмус
источник

7

$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + е_{я} δ е_{J}^{⊤}) A^{- 1} знак равно я + е_{я} δ е_{J}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ $\delta$ $ij$ $A^{-1}$ $A^{-1}$

A^{- 1} (A + е_{я} δ е_{J}^{⊤}) знак равно я + A^{- 1} е_{я} δ е_{J}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

$A^{-1}$

— Адам В.
источник

Хороший ответ, но насколько это отличается от предыдущего Ювала?

— AJed

1

A^{- 1}

$A^{-1}$