Показано, что минимальное удаление вершин в двудольном графе является NP-полным

Рассмотрим следующую проблему, входной экземпляр которой представляет собой простой граф и натуральное целое число . $G$ $k$

Существует ли множество такое, что двудольный и ? $S \subseteq V(G)$ $G - S$ $|S| \leq k$

Я хотел бы показать, что эта проблема является -завершенной, уменьшив к ней 3-SAT, -CLIQUE, -DOMINATING SET или -VERTEX COVER. $\rm{NP}$ $k$ $k$ $k$

Я считаю, что могу свести к этому проблему 3-ЦВЕТА, поэтому мне нужно только посмотреть, как свести к ней одну из упомянутых проблем. Но так как это было бы довольно грязно, мне интересно, увидит ли кто-нибудь элегантное сокращение вышеупомянутых проблем.

Кроме того, есть ли название для решения этой проблемы?

complexity-theory np-complete reductions

— Jernej
источник

Нечетное прохождение цикла .

— Пол GD

Это похоже на набор вершин обратной связи . То есть вы хотите найти минимальное подмножество вершин для удаления так, чтобы полученный граф был ациклическим. Ациклический граф по определению является деревом (или лесом), который является двудольным.

— Николас Манкузо

@NicholasMancuso Это не так похоже. Это действительно, как я уже сказал выше, проблема трансверсального нечетного цикла. Или, как указывает Вор, Яннакакис в 70-х и 80-х называл удаление двудольных узлов (или вершин).

— Пол GD

@ PålGD, я согласен. Я чувствовал, что самое легкое сокращение будет от FVS. Однако это становится ненужным благодаря его определению как трансверсаль нечетного цикла.

— Николас Манкузо

@Jernej: вы говорите: «... Я хотел бы показать, что эта проблема в NP , уменьшив ее до 3-SAT, k-CLIQUE, ...». Вы имеете в виду «Я хотел бы показать, что эта проблема является NP-сложной, используя сокращение от 3-SAT, k-CLIQUE, ...»? (проблема явно в NP, потому что тестирование двудольного графа может быть выполнено за линейное время)

— Vor

Ваша проблема - это особый случай более широкого класса проблем, называемых проблемами удаления узлов :

Дж. М. Льюис и М. Яннакакис, «Проблема удаления узлов для наследственных свойств является NP-полной»

$\Pi$ $G$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

Ваша проблема - это проблема удаления узлов из-за двойственности , но (как отметил Pal), сегодня она известна как проблема обхода нечетного цикла (OCT).

РЕДАКТИРОВАТЬ

Что касается прямого сокращения, я подумал об этом из 3SAT.

$n$ $m$ $x_i, \overline{x_i}$ $n+1$ $x_i$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $n$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $C_j$ $C_j$

$G$ $n$

введите описание изображения здесь

— Вор
источник

Это не совсем тот ответ, который задает вопрос. ОП хотят явно сократить, используя данную проблему. Кроме того, проблема известна сегодня как трансверсаль нечетного цикла.

— Пол GD

@ PålGD: ты прав.

— Vor

Да, но я не могу сразу увидеть сокращение из списка проблем ОП, хотя ... Я знаю только то, что вы упомянули, от Яннакакиса.

— Пол GD

@ PålGD: я подумаю о другом сокращении, но, если честно, я не уверен, чего именно хочет ОП (см. Мой комментарий выше).

— Vor

@Vor То, что я хочу, это увидеть простое сокращение до одной из упомянутых проблем. Эта статья мне известна, но я скорее ищу самое прямое сокращение.

— Jernej