Что означает ведущий оператор турникета?

12

Я знаю, что разные авторы используют разные обозначения для представления семантики языка программирования. На самом деле Гай Стил решает эту проблему в интересном видео .

Я хотел бы знать, знает ли кто-нибудь, имеет ли ведущий оператор турникета общепризнанное значение. Например, я не понимаю ведущего оператора в начале знаменателя следующего: $\vdash$

\frac{x : T_{1} ⊢ t_{2} : T_{2}}{⊢ λ x : T_{1} . t_{2} : T_{1} \to T_{2}}

$\frac{x:T_1 \vdash t_2:T_2}{\vdash \lambda x:T_1 . t_2 ~:~ T_1 \to T_2}$

Может кто-нибудь помочь мне понять? Благодарю.

type-theory denotational-semantics

— Джим ньютон
источник

Связанные

— leftaround около

Вау, этот вопрос имеет более 1 000 просмотров, что больше, чем сумма просмотров всех остальных 29 новых вопросов! Как я уже проверял, ни один из тегов «теория типов» и «денотационная семантика» не входит в число первых 50 популярных тегов. Мне любопытно узнать причину этого явления. Без понятия. @DW? У меня есть мета вопрос?

— Джон Л.

Если я не ошибаюсь, вы должны переместить оператор турникета ( ), в заключение правила, между и . Я также добавил бы тег

⊢

$\vdash$

λ x : T_{1}

$\lambda x:T_1$

t_{2}

$t_2$ type-checking

— mchar

3

@ Apass.Jack Это закончилось в Hot Network Questions, поэтому привлекает больше внимания из-за этого.

— JAB

20

Слева от турникета вы можете найти локальный контекст, конечный список предположений о типах переменных под рукой.

x_{1} : T_{1}, \dots, x_{n} : T_{n} ⊢ e : T

$x_1:T_1, \ldots, x_n:T_n \vdash e:T$

Выше, может быть равно нулю, что приводит к . Это означает, что не делается никаких предположений о переменных. Как правило, это означает , что является закрытым термином (без каких - либо свободных переменных) , имеющий тип . $n$ $\vdash e:T$ $e$ $T$

Часто упомянутое вами правило написано в более общей форме, где может быть больше гипотез, чем упомянуто в вопросе.

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ t : T_{2}}{Γ ⊢ (λ x : T_{1} . t) : T_{1} \to T_{2}}

$\dfrac{ \Gamma, x:T_1 \vdash t : T_2 }{ \Gamma\vdash (\lambda x:T_1. t) : T_1\to T_2 }$

Здесь представляет любой контекст, а представляет его расширение, полученное путем добавления дополнительной гипотезы в список . Обычно требуется, чтобы не отображалось в , чтобы расширение не «конфликтовало» с предыдущим предположением. $\Gamma$ $\Gamma, x:T_1$ $x:T_1$ $\Gamma$ $x$ $\Gamma$

— чи
источник

7

В дополнение к другим ответам, обратите внимание, что существует три уровня «импликации» в типизации дериваций. И то же самое замечание относится и к логическим выводам, поскольку между ними фактически есть соответствие (называемое соответствием Карри-Ховарда).

Первое значение - это стрелка, которая появляется в формулах, и соответствует логическому значению в формуле (или типу функции для -calculus). $\lambda$

Второе значение материализовано символом турникета и означает «принимая каждую формулу слева, формула справа имеет место». В частности, правило, которое вы даете, говорит о том, как следует доказать импликацию: чтобы доказать , нужно доказать при условии, что выполнено. В терминах -calculus, чтобы доказать, что имеет тип , нужно показать, что имеет тип , предполагая, что является переменной типа (см. Соответствие?). $A \Rightarrow B$ $B$ $A$ $\lambda$ $\lambda x.t$ $A \to B$ $t$ $B$ $x$ $A$

Третий уровень импликации материализуется горизонтальной чертой и означает «если выполняется каждая посылка (элементы сверху), то справедливо заключение (элемент снизу)». Вы можете связать это с интерпретацией правила набора для -abstraction, которое вы дали (см. Объяснение в предыдущем абзаце). $\lambda$

— Родольф Лепигре
источник

3

В системах проверки типов ( ) представляет троичное отношение над средами типов, выражениями и типами: . $\vdash$ $\vdash \texttt Env \times \texttt Exp \times \texttt Typ$

В вашем примере выражение набрано с типом относительно. в среду типа, имеющую допущение типа, отображающее в некоторую переменную типа $t_2$ $T_2$ $T_1$ $x$

В этом контексте среда типов - это частичная функция, которая присваивает типы переменным, обычно обозначается как где $\Gamma$ $\Gamma \in \texttt Env : Var \rightharpoonup Typ$

Обратите внимание, что оператор резервирует свои функциональные возможности независимо от того, где он появляется, либо в предпосылке, либо в заключении правила.

— mchar
источник

-1

В каждой ситуации, которую я видел, означает, что существует доказательство того, что предполагает, что выполнено. Если пусто, это означает, что тавтология: у нее есть доказательства, не требующие каких-либо предположений. $X\vdash Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

— Дэвид Ричерби
источник

1

но если то, что вы говорите, правда, это странно, потому что именно это и означает горизонтальная полоса, верно? Что если вершина верна, то низ верна. Таким образом, будет означать, что если истинно, то безусловно истинно.

\frac{X}{⊢ Y}

$\frac{X}{\vdash Y}$

X

$X$

Y

$Y$

— Джим Ньютон

1

Горизонтальная полоса означает, что вещь на дне является немедленным вычетом из вещи наверху. Хотя я согласен, что в вашем примере выглядит очень странно, что безусловная истина является производной от условной ...

— Дэвид Ричерби,

Теория типов не логика. Это, конечно, связано во многих отношениях и (в некоторой степени преднамеренно) использует аналогичные обозначения, но, безусловно, нет никакой априорной связи с отношением доказуемости, и часто также нет апостериорной связи (по крайней мере, с удаленно разумной логикой). Как пишет ответ, в лучшем случае , вводит в заблуждение , поскольку она предполагает , что « » формула , которая практически никогда не бывает в теории типов, например , язык , содержащий формулы , как является обычно не описывается и часто невозможно в стандартной мета-логике, например, для линейного лямбда-исчисления.

x : T_{1}

$x:T_1$

(x : T_{1}) \lor (y : T_{2})

$(x:T_1)\lor(y:T_2)$

— Дерек Элкинс покинул SE

@DerekElkins Это система доказательств, а системы доказательств - логика. - это в точности предложение, а - не что иное, как утверждение, что предложение выполняется, когда выполняется . Тот факт, что дизъюнкции предложений не являются формулами, является просто ограничением синтаксиса логики.

x : T

$x\colon T$

Γ ⊢ x : T

$\Gamma\vdash x\colon T$

Γ

$\Gamma$

— Дэвид Ричерби

Это не просто дизъюнкция. Ни одно из , или является формулами. Или вы говорите, что это логика, которая имеет только атомарные суждения? Я упомянул линейную логику в качестве примера. В упорядоченной линейной логике очень легко может быть случай, когда выполняется, а - нет. Каким соединительным соответствуют запятая и которые берут « значения» , и и производят описанное выше поведение? Есть вариант, если мета-логика также является упорядоченной линейной логикой, но тогда мы ничего не объясняем.

\neg (x : A)

$\neg (x:A)$

(x : A) \land (y : B)

$(x:A)\land(y:B)$

(x : A) \to (y : B)

$(x:A)\to(y:B)$

x : A, y : B ⊢ t : C

$x:A,y:B\vdash t:C$

y : B, x : A ⊢ t : C

$y:B,x:A\vdash t:C$

⊢

$\vdash$

x : A

$x:A$

y : B

$y:B$

t : C

$t:C$

— Дерек Элкинс покинул SE