Независимый набор на кубических треугольных свободные график

Я знаю, что максимальное независимое множество на кубических графах без треугольников является NP-полным.

Является ли он еще NP-полным, если нам требуется, чтобы независимый набор имел размер точно ? $|V|/2$

В основном, ДА экземпляр задачи о независимом множестве в задаче о кубах без треугольников должен иметь ровно узлов. НЕТ экземпляра имеет независимый набор размером меньше, чем . $|V|/2$ $|V|/2$

complexity-theory np-complete

— Мухаммед Аль-Туркистани
источник

cs.stackexchange.com/questions/1176/… может иметь отношение к делу.

— Луи

Какие НЕТ экземпляры?

— Юваль Филмус

@YuvalFilmus Он спрашивает проблема является $\alpha(G) = |G| / 2$ , гдеэто порядок графика. Должна быть возможность добавить несколько изолированных вершин на график, чтобы увеличить число независимости. Мухаммед, ты знаешь сокращение? Разве это не возможно добавить изолированным вершинам , чтобы получить хотели сокращение?

| G |

$|G|$

n / 2 - k

$n/2 - k$

— Pål GD

Нет, я не сокращение.

— Mohammad Al-Turkistany

@ PålGD сокращение не будет работать, так как обычная проблема спрашивает , может ли , а не . На самом деле, это даже не ясно , что проблема заключается в НП.

α (G) \geq k

$\alpha(G) \geq k$

α (G) = k

$\alpha(G) = k$

— Юваль Филмус

Давайте начнем с доказательства того, что максимальное независимое множество имеет размер не более . Пусть независимое множество. Для каждой вершины , пусть будет число его соседей в . Если , то мы знаем , что . Поскольку граф является кубической,, Так , число вершин , таких , что , по крайней мере, Следовательно . $|V|/2$ $I$ $v$ $\alpha(v)$ $I$ $\alpha(v) \geq 1$ $v \notin I$ $\sum_v \alpha(v) = 3|I|$ $\alpha(v) \leq 3$ $\alpha(v) \geq 1$ $|I|$ $|I| \leq |V|/2$

Когда мы можем достичь равенства? Мы должны иметь , поэтому для каждой вершины не в , все его соседи должны быть в . Обратное также верно - для каждой вершины , все его соседи не . Другими словами, график должен быть двудольным. Это можно проверить за полиномиальное время. $\alpha(v) \in \{0,3\}$ $I$ $I$ $I$ $I$

— Юваль Фильмус
источник

YuvalFilmus Большое спасибо. Это дает алгоритм полиномиального времени для моей проблемы?

— Mohammad Al-Turkistany

Я так думаю - ты согласен?

— Юваль Фильмус