Считается ли O (mn) «линейным» или «квадратичным» ростом?

Если бы у меня была функция с временной сложностью O ( mn ), где m и n - размеры двух ее входов, мы бы назвали ее временную сложность «линейной» (поскольку она линейна как по m, так и по n ) или «квадратичной» ( так как это продукт двух размеров)? Или что-то другое?

Мне кажется, что называть его «линейным» сбивает с толку, потому что O (m + n) также является линейным, но гораздо быстрее, но мне кажется, что называть его «квадратичным» также странно, потому что он линейный в каждой переменной в отдельности.

В математике такие функции называются полилинейными функциями. Но компьютерные ученые, вероятно, вообще не будут знать эту терминологию. Эту функцию определенно не следует называть линейной, ни в математике, ни в информатике, если только вы не можете разумно считать и константой.$m$$n$

Чтобы пояснить обсуждение в комментариях, важно, что вы измеряете относительно роста.

Как упомянуто @Kaveh, не является линейным в обоих случаях одновременно, но является линейным, если один является константой, а другой растет.$O(mn)$

С другой стороны, скорее всего будет считаться линейным. Интуитивно понятно, что если удваивается, или удваивается, или даже если и удваиваются, не может более чем удвоиться. Это не верно для ; если и оба удваивают увеличиваются на 4. Именно поэтому во многих контекстах это время выполнения будет считаться квадратичным. Я приведу пример этого с совпадением строк в нескольких параграфах.м н м н м + н м н м н м $O(m+n)$$m$$n$$m$$n$$m+n$$mn$$m$$n$$mn$

Но обычно, когда вы используете нотацию Big- , вы используете ее в отношении чего-то конкретного. Так как мы в основном теоретики, это, как правило, размер вклада в проблему.$O$

Давайте возьмем Matrix Addition, например. Добавление двух матриц занимает время. Но каждый элемент нашего ввода затрагивается только один раз, поэтому его обычно называют линейным. Другими словами, наш вход имеет размер , поэтому время работы является линейным по размеру входа.O ( m n ) O ( m n ) O ( m n $m\times n$$O(mn)$$O(mn)$$O(mn)$

Теперь давайте посмотрим на сопоставление строк - а именно, нам дана строка размера и строка размера и мы хотим посмотреть, есть ли вхождение строки меньшего размера в большей строке. Мы можем проверить это наивно за время; это обычно считается квадратичным. Зачем? Если и могут быть чем угодно, установите . Тогда наше время работы и наш вход имеет размер .n O ( m n ) m n m = n O ( m 2 ) 2 $m$$n$$O(mn)$$m$$n$$m = n$$O(m^2)$$2m$

С другой стороны, если мы используем алгоритм Рабина-Карпа , мы получаем (в среднем) времени. Наш вход состоял из обеих строк, поэтому мы также имели размер . Следовательно, это обычно называется линейным.O ( m + n $O(m+n)$$O(m+n)$

Подводя итог: обычно называется линейным для таких вещей, как умножение матриц, потому что оно линейно по размеру входных данных, но обычно называется квадратичным для таких вещей, как сопоставление строк из-за меньшего входного значения. Какой термин подходит, зависит от контекста, в котором вы его используете.$O(mn)$

Если вы измеряете время работы в , то O ( т п ) является не линейной функцией в ( т , п ) . Если между и нет связи, эта функция в целом может расти квадратично .$(m,n)$$O(mn)$$(m,n)$$m$$n$

Однако это линейная функция в каждой из них в отдельности, т.е. если вы фиксируете одну из них и смотрите на рост другой переменной, то это линейная функция в другой.

Чтобы измерить сложность проблем с несколькими входами , можно найти доминантную переменную и затем связать другие входы на основе этой переменной. При таком подходе вы можете получить функцию сложности, основанную на одной переменной .

Учитывая некоторый язык и функция f такая, что min { | w 1 | , | w 2 | } ≤ f ( | w | ) для каждого вы можете оценить время работы$L = \{w_1\#w_2|w_i \in (\Sigma\setminus\{\#\})^*,\dots\}$$f$$\min\{|w_1|,|w_2|\} \leq f(|w|)$O ( | w 1 | ⋅ | w 2 |$w=w_1\#w_2 \in L$$\mathcal O(|w_1|\cdot|w_2|)$алгоритм, который распознает как O ( f ( | w | ) ⋅ ( | w | - f ( | w | ) ) = O ( f ( | w | ) | w | - f ( | w | ) 2 ) = O ( f ( | w | ) | w | ) .$L$$\mathcal O(f(|w|)\cdot(|w|-f(|w|))= \mathcal O(f(|w|)|w|-f(|w|)^2)= \mathcal O(f(|w|)|w|)$

Это означает, что вы получаете линейное время, если меньшая часть вашего ввода постоянна (относительно всего входа), что-то среднее (например, ), если это сублинейное и квадратичное время выполнения, если оно линейное.$\mathcal O(n\log n)$