Бесконечная цепочка больших

Во-первых, позвольте мне написать определение большого чтобы сделать вещи явными.$O$

$f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ такое, что$0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

Допустим, у нас есть конечное число функций: удовлетворяющих:$f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

В силу транзитивности имеем:$O$$O(f_1)\subseteq O(f_n)$

Имеет ли это место, если у нас есть бесконечная цепочка $O's$ ? Другими словами, $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$ ?

У меня проблемы с представлением, что происходит.

Сначала нам нужно уточнить, что мы подразумеваем под «имеет ли это место, если мы имеем бесконечную цепь?». Мы рассматриваем его как бесконечную последовательность функций , что для всех имею . Такая последовательность может не иметь последней функции.$\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$$i$$f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

Мы можем посмотреть на предел функций в последовательности, т.е. . Однако возможно, что этот предел не существует. И даже в том случае, если он существует, у нас может не быть . Например, рассмотрим последовательность функций . Для каждого , и , следовательно . Однако таким образом, .$f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$$f_1(n) = O(f_\infty(n))$$f_i(n) = \frac{n}{i}$$i$$f_i(n)=\Theta(n)$$f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$$f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$$f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

С другой стороны, мы можем посмотреть на предел последовательности классов, который не должен быть равен классу предела функций . У нас есть , поэтому и для всех . Верхний предел содержит все элементы (функции в данном случае), которые встречаются бесконечно часто, а нижний предел содержит все элементы, которые встречаются во всех для некоторых$f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$$\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$$f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$$j$$\mathcal O(f_i), i \ge n_0$$n_0$ (который может зависеть от элемента). Поскольку последовательность классов монотонно возрастает, оба существуют и они равны. Это оправдывает использование .$\lim$

Да, возможно иметь бесконечную цепь.

Я уверен, что вы уже знакомы с некоторыми примерами: У вас здесь бесконечная цепочка: полиномы растущей степени. Вы можете пойти дальше? Конечно! Экспонента растет быстрее (асимптотически), чем любой многочлен. И, конечно, вы можете продолжать:

$$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$$ $$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$$ $O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

Вы можете построить бесконечную цепочку и в другом направлении. Если то (придерживаясь положительных функций, поскольку здесь мы обсуждаем асимптотику функций сложности). Итак, мы имеем, например:$f = O(g)$$\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

$$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$$

Фактически, для любой цепочки функций вы можете создать функцию которая будет расти быстрее всех из них. (Я предполагаю, что являются функциями от до .) Сначала начните с идеи . Это может не сработать, потому что множество может быть неограниченным. Но поскольку мы заинтересованы только в асимптотическом росте, достаточно начать с малого и постепенно расти. Возьмите максимум за конечное число функций. $f_1, \ldots, f_n$$f_\infty$$f_i$$\mathbb{N}$$\mathbb{R}_+$$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$$\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

$$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if \(N \le x \lt N+1\)}$$ Тогда для любого , , так . Если вам нужна функция, которая растет строго быстрее ( ), возьмите .$N$$f_N \in O(f_\infty)$$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$$f_\infty = o(f_\infty')$$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$