Плотный NP полный язык подразумевает P = NP

Мы говорим, что язык является плотным, если существует такой многочлен , что для всехДругими словами, для любой заданной длины существует только многочлен много слов длины , которых нет в$J \subseteq \Sigma^{*}$| J c ∩ Σ n | ≤ р ( п ) п ∈ N . п п J $p$

Проблема, которую я сейчас изучаю, требует показать следующее

Если существует плотный полный язык, тоП = Н $NP$$P = NP$

Что текст указывают на то , чтобы рассмотреть полиномиальное сведение к - , а затем построить алгоритм , который пытается удовлетворить данную формулу , а также порождающих элементов вS A T C N F J c$3$$SAT$$CNF$$J^c.$

Что мне интересно, так это

Есть ли более прямое доказательство? Известно ли это понятие в более общем контексте?

Это хорошая домашняя задача о теореме Махани.

Обратите внимание, что дополнение к «плотному» языку является разреженным языком. Более того, если язык является -полным, его дополнение является .c O N $\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

Если существует "плотный" -полный язык, существует разреженный язык.c O N $\mathsf{NP}$ $\mathsf{coNP}$

Теорема Махани говорит нам, что нет редкого -комплектного языка, если только .П = Н $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

Мы можем принять доказательство, чтобы показать, что нет редкого языка, если только который эквивалентен (так как замкнуто относительно дополнений).$\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{coNP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

Таким образом, ответ будет отрицательным, если только . Обратите внимание, что если то каждый нетривиальный язык является -полным.$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

ps: Вы можете попробовать следующее, а затем использовать теорему Махани: существует разреженный -комплектный набор, если существует разреженный набор. Однако я сомневаюсь, что доказательство этого утверждения будет намного проще, чем доказательство теоремы Махани.$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$

$NP-Hard$$P=NP$

Упомянутый проект содержит полное доказательство.