Решение функциональных уравнений для неизвестных функций в лямбда-исчислении

Существуют ли методы решения функциональных уравнений для неизвестных функций в лямбда-исчислении?

Предположим, у меня есть функция тождества, определенная как таковая:

$I x = x$

(то есть, записывая уравнение для ожидаемого поведения этой функции) , и теперь я хочу , чтобы решить эту проблему для $I$ , делая некоторое алгебраическое преобразование , чтобы получить интенсиональную формулу для этой функции:

$I = \lambda x.x$

это говорит о том, как именно функция выполняет ожидаемое (то есть, как реализовать ее в лямбда-исчислении).

Конечно, функция тождества используется только в качестве примера. Меня интересуют более общие методы решения таких уравнений. В частности, я хотел бы найти функцию которая удовлетворяет следующему требованию:$B$

$B\;f\;(\lambda x.M) = (\lambda x.f M)$

то есть «вводит» заданную функцию в заданную лямбда-функцию ( λ x . M ) перед ее «телом» M (которое является произвольным лямбда-выражением), возможно, разбирая ее и конструируя новую, чтобы она стал параметром, к которому применяется функция f .$f$$(\lambda x.M)$$M$$f$

Это известная проблема, известная как Объединение высшего порядка .

К сожалению, эта проблема вообще неразрешима. Существует разрешимый фрагмент, известный как фрагмент шаблона Миллера. Он широко используется, в частности, при проверке типов программ с зависимой типизацией с метапеременными или сопоставлении с образцом. В этом фрагменте переменные объединения применяются только к различным связанным программным переменным.

В этой статье представлен большой урок о том, как работает унификация более высокого порядка, и рассматривается его (относительно) простая реализация.

К сожалению, не похоже, что ваша функция попадает в этот фрагмент шаблона. Тем не менее, то, что я вижу, очень похоже на композицию функций. Следующая функция удовлетворяет вашей собственности?

$B = \lambda f\ g\ x\ \ldotp f\ (g\ x)$

У нас есть:

• $B\ f\ (\lambda x . M)$
• по α -эквивалентности$= B\ f\ (\lambda y . [y/x]M)$$\alpha$
• $= \lambda x . f\ ((\lambda y. [y/x]M) x)$
• $= \lambda x . f\ ([x/y][y/x]M)$
• $= \lambda x . f\ M$

Я думаю, что у меня есть частичный ответ относительно уравнения с тождественной функцией:

$I x = x$

Мы хотим решить ее, найдя формулу для , которая будет иметь форму ( λ p . M ) с некоторым еще неизвестным выражением M в качестве тела. Давайте заменим это на I в исходном уравнении:$I$$(\lambda p.M)$$M$$I$

$(\lambda p.M)\; x = x$

затем примените функцию к с левой стороны:$x$

$M[p/x] = x$

Но что у нас здесь? :> Это уравнение является формулой для выражения мы ищем, после замены каждого вхождения p в нем на x , и оно говорит, что оно должно выглядеть как правая часть впоследствии :) Другими словами, функция, которую мы искал это:$M$$p$$x$

$I = (\lambda x.x)$

что, конечно, правильный ответ :)

$\omega$

$\omega\;\omega = \omega\;\omega$

$\omega$$(\lambda x.M)$$M$

$(\lambda x.M)\;\omega = \omega\;\omega$

$M$

$M [x/\omega] = \omega\;\omega$

$x$$M$$\omega$$\omega\;\omega$$M$$x\;x$

$\omega = (\lambda x.x\;x)$

это действительно так :)

Однако у меня есть ощущение, что это может быть так просто, потому что правая сторона уже была в той форме, которую мы ищем.