Как комбинатор Y иллюстрирует «несоответствие лямбда-исчисления»?

На странице Википедии для комбинаторов с фиксированной точкой написан довольно загадочный текст

Y комбинатор является примером того, что делает лямбда-исчисление непоследовательным. Поэтому к этому следует относиться с подозрением. Однако комбинатор Y можно считать безопасным, если он определен только в математической логике.

Я вступил в какой-то шпионский роман? Что в мире подразумевается под утверждениями о том, что калькуляция является «противоречивой» и что ее следует «рассматривать с подозрением» ?$\lambda$

Оно вдохновлено реальными событиями, но то, как оно заявлено, едва узнаваемо и «следует воспринимать с подозрением» - нонсенс.

Последовательность имеет точное значение в логике: непротиворечивая теория - это теория, в которой не все утверждения могут быть доказаны. В классической логике, это равносильно отсутствию противоречия, то есть теория противоречиваесли и только если есть заявление такоечто теория доказываеткак А и его отрицание ¬ A .$A$$A$$\neg A$

Так что же это значит в отношении лямбда-исчисления? Ничего такого. Лямбда-исчисление - это система переписывания, а не логическая теория.

Можно посмотреть лямбда-исчисление по отношению к логике. Рассматривайте переменные как представление гипотезы в доказательстве, лямбда-абстракции как доказательства в рамках определенной гипотезы (представленной переменной), а применение - как соединение условного доказательства и доказательства гипотезы. Тогда бета-правило соответствует упрощению доказательства, применяя modus ponens , фундаментальный принцип логики.

Это, однако, работает только в том случае, если условное доказательство сочетается с доказательством правильной гипотезы. Если у вас есть условное доказательство, предполагающее и у вас также есть доказательство n = 2 , вы не можете объединить их вместе. Если вы хотите, чтобы эта интерпретация лямбда-исчисления работала, вам нужно добавить ограничение, чтобы к условным доказательствам применялись только доказательства правильной гипотезы. Это называется системой типов , а ограничение - это правило ввода, которое гласит, что когда вы передаете аргумент функции, тип аргумента должен соответствовать типу параметра функции.$n=3$$n=2$

Соответствие Карри-Говарда является параллелью между типизированными исчислениями и системами доказательств.

• типы соответствуют логическим утверждениям;
• сроки соответствуют доказательствам;
• обитаемые типы (т. е. типы, в которых есть термин этого типа) соответствуют истинным утверждениям (т. е. таким утверждениям, что существует доказательство этого утверждения);
• оценка программы (т. е. правила, такие как бета) соответствуют преобразованиям доказательств (которые лучше преобразовали правильные доказательства в правильные доказательства).

Типизированное исчисление, имеющее комбинатор с фиксированной точкой, такое как позволяет создать термин любого типа (попробуйте оценить Y ( λ x . X ) ), поэтому, если вы берете логическую интерпретацию через соответствие Карри-Ховарда, вы получаете противоречивую теорию , См. Противоречит ли Y комбинатор соответствию Карри-Говарда? Больше подробностей.$Y$$Y (\lambda x.x)$

Это не имеет смысла для чистого лямбда-исчисления, то есть для лямбда-исчисления без типов.

Во многих типизированных исчислениях невозможно определить комбинатор с фиксированной точкой. Эти типизированные исчисления полезны с точки зрения их логической интерпретации, но не являются основой для языка программирования, полного по Тьюрингу. В некоторых типизированных исчислениях можно определить комбинатор с фиксированной точкой. Эти типизированные исчисления полезны в качестве основы для языка программирования, полного по Тьюрингу, но не в отношении их логической интерпретации.

В заключение:

• Лямбда-исчисление не является «противоречивым», эта концепция не применяется.
• Типизированный лямбда - исчисление , что присваивает тип для каждого члена лямбды противоречив. Некоторые типизированные лямбда-исчисления похожи на это, другие делают некоторые термины нетипичными и последовательными.
• Типизированные лямбда-исчисления не являются единственным смыслом для лямбда-исчисления, и даже противоречивые типизированные лямбда-исчисления являются очень полезными инструментами - просто чтобы не доказать что-либо.

Я хотел бы добавить один к тому, что сказал @Giles.

Переписка Карри-Говард делает параллель между -терминами (точнее, типа из λ -терминов) и система доказательства.$\lambda$$\lambda$

Например, имеет тип a → ( b → a ) (где a → b означает «функция от a до b »), что соответствует логическому утверждению $\lambda x.\lambda y.x$$a \to (b \to a)$$a \to b$$a$$b$ . Функция λ x . λ y . x y имеет тип ( a → b ) → ( a → b ) , соответствующий ( $a \implies (b \implies a)$$\lambda x.\lambda y.xy$$(a \to b) \to (a \to b)$ . Мы можем преобразовать любой тип лямбда-исчисления в логическую тавтологию, в некотором смысле путем «сопоставления с образцом» в функциях.$(a \implies b) \implies (a \implies b)$

Проблема возникает, когда мы рассматриваем Y комбинатор, определенный как . Проблема возникает потому, что мы ожидаем, что Y-комбинатор, как комбинатор с «фиксированной точкой», будет иметь тип ( a → a ) → a (потому что он переводит функцию из типа в тот же тип и находит фиксированную точку для та функция, которая имеет этот тип). Преобразование это до логических доходностей заявления $\lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$$(a \to a) \to a$ . Это противоречие$(a \implies a) \implies a$

Принятие в системе типов приводит к несовместимости системы типов. Это означает, что мы можем либо$(a \to a) \to a$

• Запретить типы, такие как в системе типов (это дает вам просто набранный λ- калькулятор ), или$(a \to a) \to a$$\lambda$
• Жить с системой типов, несовместимой как система логического вывода.