Существуют ли другие способы описания формальных языков, кроме грамматики?

Я ищу математические теории, которые имеют дело с описанием формальных языков (набор строк) в целом, а не только грамматических иерархий.

Есть много возможностей. Другие уже упоминали автоматы, которые предлагают богатый выбор. Рассмотрим также следующие рамки:

1. Некоторые языки могут быть определены непосредственно (со) индуктивными определениями . Например, наименьшая точка фиксации - это тот же язык, который описан , самая большая точка фиксации - . Обратите внимание, что такое определение также может быть записано в форме исчисления или правила вывода :
   (ba∣a)∗(ba∣a)$\qquad \begin{align*} \phantom{a} \\ &\phantom{\Rightarrow}\ \varepsilon \in L \\ w \in L &\Rightarrow aw \in L \\ aw \in L &\Rightarrow baw \in L \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $(ba\mid a)^*$$(ba\mid a)^\omega$
   $\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \frac{}{\varepsilon}, \quad \frac{w}{aw}, \quad \frac{aw}{baw} \\ \phantom{a} \end{align*}$

2. Слова определяют структуры слов, которые можно использовать в качестве моделей логической формулы . По сути, каждое слово определяет область своих позиций , предикаты так что для всех , предикат то есть < из N, ограниченный D w, и предикат suc : D w × D w → { 0 , 1 }P a : D → { 0 , 1 } P a ( i ) ⟺ w i = a a ∈ Σ < w = a a b a b a a $D_w = \{1, \dots, n\}$$P_a : D \to \{0,1\}$$P_a(i) \Longleftrightarrow w_i = a$$a \in \Sigma$$<$$<$$\mathbb{N}$$D_w$$\operatorname{suc} : D_w \times D_w \to \{0,1\}$это верно тогда и только тогда, когда второй параметр является прямым преемником первого.
   Так, например, если то на самом деле, эта формула первого порядка определяет - через набор всех структур слов, которые ее выполняют - тот же язык, что и , Соответствующие -языка описывается формулой LTL$w = aababaab$
   (ba∣a)∗ω(ba∣a)$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ S_w \models \forall\, i. \forall\, j.\ (P_b(i)\ \land\ \operatorname{suc}(i,j)) \to \lnot P_b(j); \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $(ba\mid a)^*$$\omega$$(ba\mid a)^\omega$
   $\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \square\,(P_b \to\bigcirc(\lnot P_b)) \\ \phantom{a} \end{align*}$
   Известно несколько эквивалентов между классами классического языка и некоторыми логиками. Например, FO соответствует языкам без звезд, слабый MSO - обычным языкам, а MSO - -регулярным языкам. Смотрите здесь для ссылок.$\omega$

3. Что-то ортогональное классическим классам - это языковые шаблоны . Предположим, что конечный алфавит и переменный алфавит . Строка называется шаблоном . Пусть множество подстановок. Мы определяем язык шаблона как Обратите внимание, что расширена для работы с шаблонами; Терминальные символы остаются без изменений. В качестве примера рассмотримX = { x 1 , x 2 , … } p ∈ ( Σ ∪ X ) + H = { σ ∣ σ : X → Σ ∗ } $\Sigma$$X=\{x_1, x_2,\dots\}$$p \in (\Sigma \cup X)^+$$\mathcal{H}= \{\sigma \mid \sigma : X \to \Sigma^*\}$$p$
   σл(х1ЬЬх1)={швЬЬш|ш∈{,Ь}*$\qquad \begin{align*} \phantom{a}\\ \mathcal{L}(p) = \{\sigma(p) \mid \sigma \in \mathcal{H}\}. \\ \phantom{a} \end{align*}$
   $\sigma$
   $\mathcal{L}(x_1abbax_1)= \{wabbaw\mid w \in \{a,b\}^*\}$ .
   Обратите внимание, что мы допускаем замены для удаления переменных; некоторые свойства класса языков шаблонов сильно отличаются для удаления и удаления без удаления. Языки паттернов представляют особый интерес в изучении стиля Gold .

Вы должны взглянуть на теорию автоматов . Об этом много материала.

Например, вы можете определить обычный язык с недетерминированным конечным автоматом с помеченными ребрами: строка принадлежит языку, если автомат может следовать переходам, помеченным его символами, и останавливается в конечном состоянии.

Кроме того, контекстно-свободная грамматика может быть распознана автоматом .

Другой способ определения языков - с помощью машин Тьюринга .

Из иерархии Хомского существует четыре типа формальных языков (каждый из них является подмножеством языков после него):

Регулярный формальный язык может быть описан:

1. Регулярная грамматика
2. Конечный автомат (детерминированный / недетерминированный)
3. Регулярное выражение

1., 2. и 3. эквивалентны, и из одного вы можете построить другие.

Не зависящий от контекста формальный язык может быть описан следующим образом:

1. Контекстная грамматика
2. Pushdown автомат

Также 1. и 2. эквивалентны.

Контекстный формальный язык может быть описан:

1. Линейный ограниченный автомат (машина Тьюринга с ограниченной лентой)

Перечислимый формальный язык может быть описан:

1. Общая машина Тьюринга

В дополнение к другим ответам можно описать и классифицировать языки с точки зрения «генераторов» и свойств замыкания. Например, имеет смысл говорить о наименьшем AFL, генерируемом каким-либо языком. Хорошее место, чтобы начать изучать этот тип описания - эта книга, хотя может быть довольно сложно найти ее печатную копию.