Доказать, что диагноз направленного графа является NP-трудным

У меня есть домашнее задание, от которого я некоторое время ломал голову, и я буду благодарен за любые подсказки. Речь идет о выборе известной проблемы, NP-полнота которой доказана, и построении перехода от этой проблемы к следующей проблеме, которую я назову DGD (диагностика направленного графа).

проблема

Экземпляр DGD состоит из вершин , направленных ребер и целого положительного числа . Есть три типа вершин: вершины, только входящих ребра , вершины только с уходящими краями и вершинами с входящим и исходящими ребрами . Пусть , кроме того .V = I . ∪ вывода . ∪ B E k I O B D = O × $(V,E,k)$$V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$$E$$k$$I$$O$$B$$D=O\times I$

Теперь проблема в том, можем ли мы покрыть все узлы не более чем элементами , т.е.$k$$D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

где означает, что существует направленный путь от до .a $a\to^* b$$a$$b$

Я думаю, что проблема Доминирующего множества - это та, от которой я должен уменьшить, потому что это также касается покрытия подмножества узлов другим подмножеством. Я попытался создать экземпляр DGD, сначала создав два узла для каждого элемента доминирующего набора, скопировав все ребра, а затем установив экземпляра DGD равным таковому экземпляра DS.$k$

Предположим, что простой экземпляр DS с узлами , и и ребрами и . Это экземпляр типа yes с ; доминирующий набор в этом случае состоит только из узла . Сокращение с только что описанным методом приведет к созданию экземпляра DGD с двумя путями и ; чтобы покрыть все узлы, достаточно одной пары . Это сработало бы отлично, если бы не тот факт, что доминирующий набор экземпляра DS, конечно, не может быть определен за полиномиальное время, что здесь является обязательным требованием.$1$$2$$3$$(1,2)$$(1,3)$$k = 1$$1$$(1 \to 2 \to 1')$$(1 \to 3 \to 1')$$(1, 1')$

Я обнаружил, что существует много красивых способов преобразования ребер и вершин при сокращении, но моя проблема как-то выразить DGD's в терминах DS . Доминирующий Сет казался подходящей проблемой для уменьшения, но из-за этого я думаю, что, возможно, мне следует попытаться уменьшить проблему, у которой нет такого ?$k$$k$$k$

Вместо этого уменьшите от NP-полной SET-COVER .

Пусть с экземпляром набора покрытий. Определите экземпляр DGD следующим образом:$S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$$k\in\mathbb{N}$$(V,E,k')$

• $V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
• $E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
• $k' = m + k$

Легко видеть , что построенный экземпляр DGD имеет положительный ответ , если и только если данный экземпляр набора крышка имеет положительный ответ. В частности, все пар имеет не должно быть выбран независимо от того , что для того , чтобы охватить все ; то из пара должно охватывать все , и первые компонентами, выбираемые являются решением экземпляра SET-крышки. Если такой выбор невозможен, экземпляр SET-COVER также не имеет решения.$m$$(s_i,o_i)$$o_i$$k$$m$$(s_i,o)$$e_j$

Поскольку построение возможно за полиномиальное время, это доказывает SET-COVER .$\leq_p$

В качестве примера рассмотрим пример покрытия экземпляра набора, приведенный в Википедии , а именно и наборы . Это переводит на следующий график:$\{1,2,3,4,5\}$$S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

^{[ источник ]}