Сокращение от задачи с 3 разделами до проблемы сбалансированного разделения

Проблема 3-Перегородка спрашивает , может ли набор из целых чисел может быть разделена на п наборов из трех чисел таким образом, что каждый набор сумм до некоторого заданного целого числа B . Задача сбалансированного разбиения спрашивает, можно ли разбить 2 n целых чисел на два одинаковых набора мощности, чтобы оба набора имели одинаковую сумму. Обе проблемы известны как NP-полные. Тем не менее, 3-разделение сильно NP-завершено. Я не видел в литературе какого-либо сокращения с 3-х разделов на сбалансированные.$3n$$n$$B$$2n$

Я ищу (простое) сокращение проблемы с 3 разделами на сбалансированный раздел.

В литературе есть тысячи NP-полных проблем, и большинство пар не имеют явных сокращений. Поскольку полиномиальное сокращение многих единиц составляет, для исследователей достаточно остановиться, когда график опубликованных сокращений сильно связан, что делает исследование NP-полноты гораздо более масштабируемой деятельностью.

Хотя я на самом деле не вижу в этом смысла, я расскажу вам достаточно простое сокращение от 3-РАЗДЕЛЕНИЯ до СБАЛАНСИРОВАННОГО РАЗДЕЛА с несколькими подсказками о том, как проходит доказательство правильности.

Пусть вход для редукции будет , пример 3-РАЗДЕЛА. Убедитесь , что Е я ∈ [ 3 п ] х я = п B . Пусть β будет большим числом, которое будет выбрано позже. Для каждого i ∈ [ 3 n ] и каждого j ∈ [ n ] выведите два числа x i β j + β n $x_1, \ldots, x_{3n}, B \in \mathbb Z$$\sum_{i\in[3n]} x_i = nB$$\beta$$i \in [3n]$$j \in [n]$ Интуитивно понятно, что первое число означает, что x i назначено 3-сегментному j , а второе число означает противоположное. Х я β J термин используется для отслеживания суммы 3-разбиения J . Β п + J термин используется для отслеживания мощности 3-разбиений J . Β 2 п + я термин используетсячтобы гарантироватьчто каждый х я присваивается ровно один раз. Β

$$x_i \beta^j + \beta^{n+j} + \beta^{2n+i} + \beta^{(i+4)n+j}\\ \beta^{(i+4)n+j}.$$ $x_i$$j$$x_i \beta^j$$j$$\beta^{n+j}$$j$$\beta^{2n+i}$$x_i$ термин n + j используется для принудительного ввода этих чисел в различные сбалансированные разбиения.$\beta^{(i+4)n+j}$

Выведите еще два числа Первое число идентифицирует свой сбалансированный раздел как «true», а другое - как «false». 1 термин используетсячтобы заставить эти цифры в различные сбалансированные разделы. Другие члены составляют разницу между суммой 3-разбиения и суммой его дополнения и размером 3-разбиения, размером его дополнения и количеством назначений x i .

$$1 + \sum_{j\in[n]} \Bigl((n-2)B\beta^j + (3n-6)\beta^{n+j}\Bigr) + \sum_{i\in[3n]} (n-2)\beta^{2n+i}\\ 1.$$ $1$$x_i$

следует выбирать достаточно большим, чтобы исключить «переполнение».$\beta$

Эта статья Андреаса Эмиля Фельдмана « Быстро сбалансированное разбиение трудно даже на сетках и деревьях » содержит то, что вы хотите! Удачи!

$k$