Покрытие сетки прямоугольниками

У нас есть сетки. У нас есть набор прямоугольников на этой сетке, каждый прямоугольник может быть представлен как двоичная матрица -by- . Мы хотим накрыть сетку этими прямоугольниками. $N_1 \times N_2$ $N_1$ $N_2$ $R$

Является ли версия решения этого набора проблем NP-полной?

Ввод: коллекция прямоугольников на сетке (размер ввода: ) и $\mathcal{C}=\{R_1,R_2,\dots,R_L\}$ $N_1N_2L$ $K \in \mathbb{N}^+$
Вывод: Подмножество с и содержащее для каждой ячейки хотя бы один прямоугольник, покрывающий ее. $\mathcal{S}\subset\mathcal{C}$ $|\mathcal{S}|\leq K$ $\mathcal{S}$

Я обнаружил, что одномерный случай ( ) может быть решен за полиномиальное время с помощью динамического программирования: любое оптимальное покрытие будет объединением $N_2=1$

оптимальное покрытие для некоторой подзадачи покрытия первых ячеек . $N_1-n_1$
одномерный прямоугольник, то есть интервал, охватывающий оставшиеся ячеек. $n_1$

Однако я не думаю, что DP может работать для двумерной задачи: для одномерной задачи вам нужно решить подзадач, но для 2D у вас есть подзадач (количество северо-восточной решетки). дорожки на сетке). $N_1$ $\binom{N_1+N_2}{N_2}$

Я думаю, что проблема может быть NP, но я не уверен (хотя это кажется сложнее, чем P), и мне не удалось найти полиномиальное сокращение от NP-полной задачи (3-SAT, Vertex Cover, ...)

Любая помощь или подсказка приветствуется.

complexity-theory np-complete set-cover

— Yann
источник

Подсказка: ищите сокращение от Vertex Cover, в котором мы создаемпосетка блоков, каждый из которых представляет собой блок элементов матрицы 3 на 3. Каждый ряд блоков соответствует ребру и будет содержать 2 специально разработанных блока, соответствующих его вершинам конечной точки. Для каждой вершины будет высота -прямоугольник ширины 1, который проходит через центральный столбец столбца 3 × 3 блоков, соответствующих этой вершине. Как вы можете заставить сумму любого действительного покрытия вершины стоить ровно ? (Вам понадобятся другие прямоугольники.)

| E |

$|E|$

| V |

$|V|$

3 | E |

$3|E|$

k

$k$

| E | (| V | + 3) + k

$|E|(|V|+3)+k$

— j_random_hacker

Я думаю, что это, вероятно, домашнее задание, поэтому я не очень хочу сейчас говорить намного больше. У формулы стоимости, которую я дал, есть некоторые подсказки в этом. Имейте в виду, что вы можете задать по крайней мере 1 из нескольких прямоугольников, сделав их единственными прямоугольниками, которые покрывают некоторый элемент матрицы (особый случай 1 прямоугольника также полезен). FWIW, я также пытался использоватьпосначала сетка, где выбор вершины соответствовал бы «вычеркиванию» строки и соответствующего столбца, но не мог понять, как заставить столбец быть выбранным при выборе строки или наоборот.

| V |

$|V|$

| V |

$|V|$

i

$i$

i

$i$

— j_random_hacker

У меня была такая же проблема спосетка. Я думаю, что вижу, какое решение вы имеете в виду (хотя у меня нет точно такой же формулы затрат), см. Мое редактирование. Кстати, это не домашнее задание. Это комбинаторная проблема, возникшая в реальной инженерной проблеме. Мы решаем это с помощью MIP, но я хотел убедиться, что проблема была в NP (и не имела полиномиального решения). В любом случае, если вы подтвердите, что решение действительно, вы можете указать подсказку в качестве ответа, и я проверю его (поскольку я нашел решение с вашей помощью).

| V |

$|V|$

| V |

$|V|$

— Ян

Да, это почти то сокращение, которое я имел в виду! :) Я сделал ваши прямоугольники типа 4 немного длиннее на одном конце: там, где ваши занимают 2 ячейки в блоке, мои занимают все 3. Вместо специальных прямоугольников типа 3 для конечных блоков я использую весь верхний ряд, просто как прямоугольники типа 2 для . Наконец, у меня есть прямоугольник, занимающий центральную левую и нижнюю левую ячейки внутри каждого левого конечного блока (перевернутый по горизонтали для каждого правого конечного блока). Таким образом, вы можете покрыть 2 нижних ряда всех блоков, включая и между конечными блоками, используя шаблон или .

a < j < b

$a < j < b$ |==|

— j_random_hacker

Мне нравится твояматрица с размерностьюидея сокращения. С этим, в отличие отматрица с размерностьюсокращение, могут быть решения с минимальными затратами, которые не соответствуют покрытиям вершин - но все такие решения могут быть превращены в решения с одинаковой (минимальной) стоимостью, используя тот же аргумент, что и в вашей последней точке, так что это не проблема для сокращения :)

| E |

$|E|$

3 | V |

$3|V|$

3 | E |

$3|E|$

3 | V |

$3|V|$

— j_random_hacker

Благодаря подсказке j_random_hacker, я нашел решение, чтобы уменьшить покрытие вершин для решения Grid:

Мы делаем по сетка из 3х3 блоков, т.е. по сетка с вершинами, упорядоченными в виде столбцов и ребрами, упорядоченными в виде строк . На этой сетке мы построим прямоугольники (рисунок ниже поможет понять, какие прямоугольники используются) $|E|$ $|V|$ $3|E|$ $3|V|$ $\{v_1,\dots,v_{N_1}\}$ $\{e_1,\dots,e_{N_2}\}$

$|V|$

$(e_i,v_j)$ $e_i=(v_a,v_b)$

$j<a$ $b<j$
$j=a$ $j=b$
$a<j<b$

$|E||V|$

$(e_i,v_a)$ $(e_i,v_b)$

$(e_i,v_a)$ $(e_i,v_b)$

$2|E|$

Теперь для каждого ребра мы строим прямоугольники типа 4, между конечными блоками у нас есть два прямоугольника для второй строки:

Один идет от центральной площади первого блока к центрально-левому квадрату второго блока.
Один идет от центрально-правой площади первого блока к центральной площади второго блока.
И те же два прямоугольника для третьего ряда.

$4|E|$

Итак, теперь, чтобы покрыть сетку:

$|E|(|V|+2)$ $|V|+4|E|$

Чтобы покрыть для данного ребра часть между концевыми блоками ребер, которая еще не покрыта (второй и третий ряды ряда блоков), мы можем использовать либо:

четыре прямоугольника типа 4.
один прямоугольник типа 1 и два прямоугольника типа 4.

Обратите внимание, что в любом случае нам нужно как минимум два прямоугольника типа 4.

$|E|(|V|+4) + k$

$|E|(|V|+2)$
$|E|(|V|+4) + k$ $|E|(|V|+4) + k$

$|E|(|V|+6) + |V|$ $9|V||E|$

$|E|$ $3|V|$ $|V|+4|E|$ $3|E|+k$

— Yann
источник