Матрица цепочек умножения и возведения в степень

Если у меня есть две матрицы $A$ и $B$ с размерами $1000\times2$ и $2\times1000$ , соответственно, и я хочу вычислить $(AB)^{5000}$ , более эффективно сначала переписать выражение как $A(BA)^{4999}B$ и только потом оценивать численно, потому что $AB$ имеет размер $1000\times1000$ а $BA$ имеет размер $2\times2$ .

Я хочу решить обобщенную версию этой проблемы. Существует ли достаточно эффективный алгоритм (не грубая сила) для оптимизации выражения, содержащего:

• Свободные матричные переменные известных размеров
• Произведения произвольных подвыражений
• Произвольные подвыражения, возведенные в естественную силу

... так что для числовой оценки требуется меньше всего работы после замены переменных свободной матрицы конкретными значениями матрицы?

Задача умножения цепочки матриц является частным случаем моей проблемы.

Редактировать:

Это предварительный ответ. Это кажется мне интуитивно правильным, но у меня нет доказательств, что это правильно. Если это окажется правильным, я все еще заинтересован в доказательстве. (Если это не правильно, пожалуйста, исправьте меня.)

Для каждого произведения, возведенного в степень, скажем, , рассмотрим каждую циклическую перестановку факторов:$(A_1 A_2 \ldots A_k)^n$

• $(A_1 A_2 \ldots A_k)^n$
• $A_1 (A_2 \ldots A_k A_1)^{n-1} A_2 \ldots A_k$
• $A_1 A_2 (A_3 \ldots A_k A_1 A_2)^{n-1} A_3 \ldots A_k$
• ...
• $A_1 A_2 \ldots A_{k-1} (A_k A_1 A_2 \ldots A_{k-1})^{n-1} A_k$

... рекурсивно. Каждая мощность должна быть рассчитана с использованием возведения в степень путем возведения в квадрат (очевидно), а все остальные произведения должны быть рассчитаны с использованием оптимального порядка, возвращаемого алгоритмом умножения цепочки матриц.

Редактировать:

Идея, изложенная в моем предыдущем редактировании, все еще неоптимальна. Алгоритм возведения в степень по квадрату фактически оценивает выражения вида или A n K , где K не обязательно является единичной матрицей. Но мой алгоритм не учитывает возможность использования возведения в степень при помощи алгоритма возведения в квадрат с K, не равным единичной матрице.$K A^n$$A^n K$$K$$K$

Отказ от ответственности: следующий метод не был строго доказан, чтобы быть оптимальным. Неформальное доказательство предоставляется.

Проблема сводится к поиску наиболее эффективного заказа при рассмотрении площади изделия.

Например, при рассмотрении , например , , нам нужно только , чтобы оптимально решить ( A B C ) 2 , так как это расширяется до В C A B C . Никакая полезная информация для заказа не добавляется путем объединения A B C снова. Интуиция здесь заключается в том, что, поскольку проблема оптимального упорядочения может быть решена снизу вверх, более высокие упорядочения, состоящие из большего числа элементов, использующих одинаковые матрицы, не имеют значения.$(ABC)^{50}$$(ABC)^2$$ABCABC$$ABC$

Нахождение наилучшего порядка сводится к задаче умножения матричной цепи. После нахождения оптимального порядка примените возведение в степень к триплету (обычно n-кортежу) в порядке.$ABCABC$

В качестве например, если оптимальное упорядочение для квадрата ( В ( С ) ) В С , решение исходной задачи ( В ( С ) ) 49 В С .$A(B(CA))BC$$A(B(CA))^{49}BC$

В итоге:
1) Первый шаг в решении - это решение ( A 1 A 2 ⋯ A n ) 2 . 2) Решение ( A 1 A 2 ⋯ A n ) 2 лучше всего рассматривать как пример задачи умножения матричных цепей. 3) Использование порядка n-кортежей G из решения в (2) даст нам решение (1) в виде некоторого аромата A 1 ⋅ $(A_1 A_2 \cdots A_n)^m$$(A_1 A_2 \cdots A_n)^2$
$(A_1 A_2 \cdots A_n)^2$
$G$ (обратите внимание, что любые другие группировки из решения (2) также должны применяться).$A_1 \cdot A_2 \cdot G^{m-1} \cdot A_n$

Неформальное доказательство
Рассматривая простейший случай с использованием двух матриц , отметим, что A и B имеют размерность X × Y и Y × X соответственно. Любой продукт, использующий A и B, имеет одно из следующих измерений:$(AB)^n$$A$$B$$X \times Y$$Y \times X$$A$$B$

Y × X Y × Y X × $X \times Y$
$Y \times X$
$Y \times Y$
$X \times X$

$X < Y$$Y ≤ X$

$X < Y$
$AB$$X \times X$$A$$B$$(AB)^n$

$Y ≤ X$
$BA$$Y \times Y$$A$$B$$A(BA)^{n-1}B$

$ABAB$

Используя больше матриц, аргумент похож. Возможно, индуктивное доказательство возможно? Общая идея состоит в том, что решение MCM для квадрата найдет оптимальный размер для операций со всеми рассматриваемыми матрицами.

Тематическое исследование:

julia> a=rand(1000,2);
julia> b=rand(2,1000);
julia> c=rand(1000,100);
julia> d=rand(100,1000);
julia> e=rand(1000,1000);

julia> @time (a*b*c*d*e)^30;
  0.395549 seconds (26 allocations: 77.058 MB, 1.58% gc time)

# Here I use an MCM solver to find out the optimal ordering for the square problem
julia> Using MatrixChainMultiply
julia> matrixchainmultiply("SOLVE_SQUARED", a,b,c,d,e,a,b,c,d,e)
Operation: SOLVE_SQUARED(A...) = begin  # none, line 1:
    A[1] * (((((A[2] * A[3]) * (A[4] * (A[5] * A[6]))) * (A[7] * A[8])) * A[9]) * A[10])
  end
Cost: 6800800

# Use the ordering found, note that exponentiation is applied to the group of 5 elements
julia> @time a*(((((b*c)*(d*(e*a)))^29*(b*c))*d)*e);
  0.009990 seconds (21 allocations: 7.684 MB)

# I also tried using the MCM for solving the problem directly
julia> @time matrixchainmultiply([30 instances of a,b,c,d,e]);
  0.094490 seconds (4.02 k allocations: 9.073 MB)

$A_1$$A_n$$A_i$$A_j$$O (n^3)$