Как разбить множество на заданное количество непересекающихся подмножеств при соблюдении некоторых условий?

Я дал множество , целое число , и неотрицательные целые числа . Моя проблема состоит в нахождении непересекающиеся подмножества из такие , что:$A\triangleq\{1,\ldots,k\}$$s\leqslant k$$a_{ij}$$s$$S_j$$\{1,\ldots,k\}$

1. $\bigcup_{j=1}^s S_j=A$ ; и
2. $|S_j|\leqslant a_{ij}$ для всех и .$i\in S_j$$j=1,\ldots,s$

Как решить эту проблему? Сложно ли найти реальное решение?

Я думаю , что это не так легко решить эту проблему , потому что я попробовал некоторую процедуру , которая начинается с некоторого и правопреемников до числа от назначен больше , чем для некоторого присвоенного. Но это не правильно , потому что я мог оставить некоторые , которые не могут быть отнесены к какому - либо (из - за их , которые могут быть не удовлетворены).$j\in\{1,\ldots,n\}$$i\in\{1,\ldots,k\}$$i$$j$$a_{ij}$$i$$i$$j$$a_{ij}$

Метод грубой силы, когда я должен генерировать все подмножества и протестировать каждый из них, работает для меня ( ) , но очень неэффективно.$A$$k=8,n=3$

Эта проблема является NP-трудной сокращением от Vertex крышки.

В задаче покрытия вершин нам дан граф и число , и наша задача состоит в том, чтобы определить, существует ли какое-то подмножество из не более вершин из такое, что каждое ребро в инцидентно по крайней мере с одной вершиной из . (Эквивалентно: возможно ли убить каждое ребро в , удалив не более вершин?)$G = (V, E)$$r$$U$$r$$V$$E$$U$$G$$r$

Во- первых, разбиение во подмножеств непересекающихся эквивалентно присвоения каждому элементу в именно один из возможных меток. Основная идея редукции создать ярлык для каждой вершины в , и «разрешить» каждому ребру быть назначен только один из двух меток , соответствующих его концов, в следующем смысле: назначая ребро в парное не этикетка вводит нет (подлинный) ограничение на то , что другие ребра могут быть назначены и ту же метку, при назначении ребра к не соответствующим предотвращает этикетки любой другой край присваивается один и тот же ярлык - что, конечно , имеет эффект выталкивания вверх число отдельных ярлыков требуется.$A$$s$$A$$s$$S_j$$v_j$$V$

Чтобы построить экземпляр вашей проблемы из экземпляра Vertex Cover:$(A, a, s)$$(G, r)$

1. Установите вИ создать элемент в для каждого ребра в . (Эти пары можно рассматривать как целые числа ; любая биекция между ними подойдет.)$k$$|E|$$(i, j)$$A$$v_iv_j$$E$$1, \dots, k$
2. Установите значениеесли или ; в противном случае установите на 1.$a_{(b, c), d}$$|E|$$d=b$$d=c$$a_{(b, c), d}$
3. Установите .$s=r$

Если является YES-экземпляром Vertex Cover, то легко увидеть, что только что экземпляр вашей проблемы также является YES-экземпляром: просто выберите метки соответствующие вершинам в любом решении и для каждого ребро Назначают соответствующий элемент какой бы ни один из знаков или был выбран (произвольно выбирать , если были выбраны оба метки). Это решение использует подмножества и является действительным, потому что единственными действующими являются те для соответствующего$(G, r)$$S_j$$v_j$$U$$v_bv_c \in E$$(b, c) \in A$$S_b$$S_c$$s$$a_{ij}$метки, которые имеют (не) эффект предотвращения более чемребрам присваивается один и тот же ярлык.$|E|$

Осталось показать, что YES-экземпляр вашей проблемы подразумевает, что оригинал является YES-экземпляром Vertex Cover. Это немного более сложным, так как действительное решение к в общем случае может назначить ребро не -corresponding метка , т.е. , что означает , что мы не можем обязательно «считывать» действительную вершину крышку от действительного решения .$X=(A, a, s)$$(G, r)$$Y$$X$$(i, j)$$S_m$$m \notin \{i, j\}$$U$$Y$

Однако назначение несоответствующей метки имеет высокую стоимость, что серьезно ограничивает структуру решения: всякий раз, когда ребру назначается такая метка , с , факт что гарантирует, что это должен быть единственный край, которому назначена эта метка. Таким образом, в любом решении содержащем такое не соответствующим образом помеченное ребро , мы можем построить альтернативное решение следующим образом:$(i, j)$$S_m$$m \notin \{i, j\}$$a_{(i, j), m} = 1$$Y$$(i, j) \mapsto S_m$$Y'$

1. Произвольно выберите новую метку для как или .$S_z$$(i, j)$$S_i$$S_j$
2. Назначьте этот новый ярлык. Если это приводит к неверному решению, это должно быть потому, что ровно одному другому ребру , уже был присвоен ярлык . В этом случае установите и перейдите к шагу 1.$(i, j)$$(i', j')$$z \notin \{i', j'\}$$S_z$$(i, j) = (i', j')$

Вышеприведенный алгоритм должен завершаться одним из двух способов: либо найдена новая метка которая не вводит противоречий, либо найден полный цикл вершин. В первом случае найдено действительное новое решение с множествами , а во втором случае найдено действительное новое решение с множествами ; В любом случае, мы построили правильное новое решение с по крайней мере еще одним ребром, назначенным соответствующей метке. После повторения всего этого процесса самое большеераз мы дадим правильное решение из которого можно будет прочитать решение исходной проблемы Vertex Cover .$S_z$$s-1$$s$$|E|$$Y''$

Эта конструкция явно полиномиального времени, поэтому из вашей задачи вытекает NP-сложность.