Насколько асимптотически плохо наивные тасовки?

Хорошо известно, что этот «наивный» алгоритм перестановки массива путем замены каждого элемента на другой, случайно выбранный, не работает правильно:

for (i=0..n-1)
  swap(A[i], A[random(n)]);

В частности, поскольку на каждой из итераций делается один из вариантов (с одинаковой вероятностью), существует возможных «путей» в вычислениях; потому что количество возможных перестановокне делится равномерно на количество путей , для этого алгоритма невозможно получить каждый изперестановки с равной вероятностью. (Вместо этого следует использовать так называемый случайный случай Фишера-Йейтса , который существенно меняет вызов для выбора случайного числа из [0..n) с вызовом для выбора случайного числа из [i..n); это спорный вопрос, хотя.)н н н н н ! н н н н $n$$n$$n^n$$n!$$n^n$$n!$

Мне интересно, насколько «плохим» может быть наивное перемешивание? Точнее говоря, пусть будет множеством всех перестановок, а будет числом путей через наивный алгоритм, который создает результирующую перестановку , что является асимптотическим поведением функцииC ( ρ ) ρ ∈ P ( n $P(n)$$C(\rho)$$\rho\in P(n)$

$\qquad \displaystyle M(n) = \frac{n!}{n^n}\max_{\rho\in P(n)} C(\rho)$

а также

$\qquad \displaystyle m(n) = \frac{n!}{n^n}\min_{\rho\in P(n)} C(\rho)$ ?

Главным фактором является «нормализация» этих значений: если наивное перемешивание «асимптотически хорошо», то

$\qquad \displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n) = \lim_{n\to\infty}m(n) = 1$ .

Я подозреваю (основываясь на некоторых компьютерных симуляциях, которые я видел), что фактические значения ограничены от 1, но известно ли, если $\lim M(n)$ конечен, или если $\lim m(n)$ отделен от 0? Что известно о поведении этих величин?

По индукции мы покажем, что перестановка является примером с . Если это наихудший случай, как и для первых нескольких (см. Примечания к последовательности OEIS A192053 ), то . Таким образом, нормализованный минимум, как и нормализованный максимум, является «экспоненциально плохим».C ( ρ n ) = 2 n - 1 n m ( n ) ≈ ( 2 / e ) $\rho_n = (2,3,4,\ldots, n,1)$$C(\rho_n) = 2^{n-1}$$n$$m(n) \approx (2/e)^{n}$

Базовый случай прост. Для шага индукции нам понадобится лемма:

Лемма: На любом пути от до , либо первый ход меняет позиции и , либо последний ход меняет позиции и .( 1 , 2 , 3 , … , n ) 1 n 1 $(2,3,4, \ldots, n, 1)$$(1,2,3, \ldots, n)$$1$$n$$1$$n$

Эскиз доказательства: предположим, что нет. Рассмотрим первый ход, включающий -ю позицию. Предположим, что это -й ход, и . Этот ход должен поместить элемент в -е место. Теперь рассмотрим следующий ход, который касается предмета . Предположим, этот ход является -м ходом. Этот ход должен поменять местами и , переместив элемент на -е место, где . Аналогичный аргумент говорит о том, что пункт можно только впоследствии сдвинуть вправо. Но пунктi i ≠ 1 i ≠ n 1 i 1 j i j 1 j i < j 1 1 $n$$i$$i\neq 1$$i \neq n$$1$$i$$1$$j$$i$$j$$1$$j$$i < j$$1$$1$должно закончиться в первую очередь, противоречие. $\square$

Теперь, если первый ход меняет позиции и , оставшиеся ходы должны переставить в . Если оставшиеся ходы не касаются первой позиции, то это перестановка в позициях , и по индукции мы знаем, что есть пути, которые делают это. Аргумент, аналогичный доказательству леммы, говорит о том, что не существует пути, который касается первой позиции, поскольку элемент должен затем оказаться в неправильной позиции.n ( 1 , 3 , 4 , 5 , … , n , 2 ) ( 1 , 2 , 3 , 4 , … , n ) ρ n - 1 2 … n C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 2$1$$n$$(1, 3,4,5, \ldots, n,2)$$(1,2,3,4, \ldots, n)$$\rho_{n-1}$$2 \ldots n$$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$1$

Если последний ход меняет местами и , то первые ходы должны перевести перестановку в перестановку . Опять же, если эти шаги не касаются последней позиции, то это перестановка , и по индукции есть путей это сделать И снова, если один из первых ходов коснется последней позиции, элемент никогда не может оказаться в правильном месте.n n - 1 ( 2 , 3 , 4 , … , n , 1 ) ( n , 2 , 3 , 4 , … , n - 1 , 1 ) ρ n - 1 C ( ρ n - 1 ) = 2 n - 2 n - 1 $1$$n$$n-1$$(2,3,4,\ldots, n,1)$$(n,2, 3,4, \ldots, n-1, 1)$$\rho_{n-1}$$C(\rho_{n-1})=2^{n-2}$$n-1$$1$

Таким образом, .$C(\rho_n) = 2C(\rho_{n-1}) = 2^{n-1}$

После некоторых поисков благодаря указателю mhum на OEIS я наконец нашел отличный анализ и хороший (относительно) элементарный аргумент (насколько я могу судить, Голдштейну и Мьюзу [1]), что растет сверхэкспоненциально быстро в :$M(n)$$n$

Любая инволюция of соответствует запуску «наивного» алгоритма тасования, который в качестве результата выдает перестановку идентификаторов, поскольку алгоритм поменяет местами с и впоследствии поменяет местами с , оставляя оба без изменений. Это означает, что число прогонов алгоритма, которые приводят к перестановке тождеств, равно, по крайней мере, числу инволюций (на самом деле, небольшое размышление показывает, что соответствие равно 1-1, и, следовательно, это точно ) и поэтому максимум в ограничен снизу .{ 1 … n } k ι ( k ) ι ( k ) k Q ( n ) Q ( n ) M ( n ) Q ( n $\iota$$\{1\ldots n\}$$k$$\iota(k)$$\iota(k)$$k$$Q(n)$$Q(n)$$M(n)$$Q(n)$

Q ( n ) ≈ C ( $Q(n)$ очевидно, идет по нескольким именам, включая номера телефонов : см. Http://oeis.org/A000085 и http://en.wikipedia.org/wiki/Telephone_number_%28matmatics%29 . Асимптотика хорошо известна, и оказывается, что ; из рекуррентного соотношения можно индуктивно показать, что отношение удовлетворяет и оттуда базовый анализ получает ведущий член в асимптотике, хотя другой сроки требуют более тщательных усилий. Поскольку «масштабный фактор» Q(n)=Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)R(n)=Q(n$Q(n) \approx C\left(\frac{n}{e}\right)^{n/2}e^\sqrt{n}$$Q(n) = Q(n-1)+(n-1)Q(n-2)$$R(n) = \frac{Q(n)}{Q(n-1)}$ n n / 2 n $\sqrt{n}\lt R(n)\lt\sqrt{n+1}$$n^{n/2}$ M(n)C$\frac{n!}{n^n}$ в определении только о , главный член доминирует и дает (асимптотически) .$M(n)$ Q(n)M(n)≥Cn ( n + 1 ) / 2 e - 3 n / 2 + $C\sqrt{n}e^{-n}$$Q(n)$$M(n)\geq Cn^{(n+1)/2}e^{-3n/2+\sqrt{n}}$

На самом деле Гольдштейн и Мьюз продолжают в [1] показать, что перестановка тождеств наиболее вероятна для больших , поэтому на самом деле a и поведение полностью определено. Это все еще оставляет вопрос о поведении открытым; Я не был бы слишком удивлен, если бы это также привело к анализу в их статье, но у меня не было возможности прочитать его достаточно близко, чтобы действительно овладеть их методами, только достаточно, чтобы получить базовый результат.≥ ≈ M ( n ) m ( n $n$$\geq$$\approx$$M(n)$$m(n)$

[1] Гольдштейн Д. и Мьюз Д.: «Идентичность - наиболее вероятный случайный обмен для больших n», http://arxiv.org/abs/math/0010066