Как измерить сложность задачи дискретного логарифма?

Ответы на этот вопрос о Crypto Stack Exchange в основном говорят о том, что для измерения сложности проблемы логарифма мы должны принять во внимание длину числа, представляющего размер группы. Это кажется произвольным, почему мы не выбрали размер группы в качестве аргумента? Есть ли критерий, чтобы узнать, какой аргумент выбрать? На самом деле, я знаю, что упустил что-то важное, поскольку сложность сильно меняется, если мы делаем это в зависимости от размера группы.

time-complexity discrete-mathematics cryptography

— Нассим ХАДДАМ
источник

Интересный вопрос! Я отредактировал его, чтобы сказать «измерить сложность», а не «вычислить», поскольку ответ на то, как мы его вычисляем, ¯ \ _ (ツ) _ / ¯. :-)

— Дэвид Ричерби

Я думаю, что так лучше. :)

— Nassim HADDAM

Неважно, выбираете ли вы размер группы или размер целого числа, представляющего его в качестве параметра, поскольку , Есть две причины, по которым сложность обычно описывается в терминах а не : $|G|$ $n$ $n \approx \log |G|$ $n$ $|G|$

- длина входа (точнее, длина ввода равна ), и мы обычно измеряем сложность алгоритмов как функцию длины ввода. $n$ $\Theta(n)$
Обычно - это небольшое число, например , тогда как это огромное число, такое как (примерно) . $n$ $1024$ $|G|$ $2^{1024}$

— Юваль Фильмус
источник

Я понимаю вашу точку зрения, но разве это не создает проблемы в P, если мы выбрали размер группы в качестве параметра?

— Нассим Хаддам

Вы не можете выбрать параметр в этом случае - параметр всегда является длиной ввода.

— Юваль Фильмус

Спасибо за ответы. У меня была проблема с тем, что может случиться, если мы рассмотрим другой случай (проблемы с P, возникающие в NP и наоборот). Я вижу ясно сейчас :) .

— Нассим ХАДДАМ

Мы не делаем вычисления в унарном виде, так как наша цель состоит в том, чтобы вычислить некоторое число или вычислить некоторый дискретный логарифм, и нам все равно, как представляется число. Предоставление его в виде входных данных в двоичном или унарном виде не влияет на «время стены», необходимое для решения проблемы, только на его сложность с точки зрения размера ввода (так как мы изменяем размер ввода!).

— Юваль Фильмус

Кроме того, мы не можем иметь 128-битное целое число в качестве унарного ввода в алгоритм реального мира. Во Вселенной недостаточно атомов.

— Юваль Фильмус